Sejam W o subespaço vetorial de P3(R) gerado por
B=-5+t-2 t^2+t^3, 1+2 t-t^2-2 t^3
e a transformação linear T: W P2(R), definida por
T(p(t))=2 p^prime(t)+p(0)(t-1)
Suponha que C seja uma base de P2(R) tal que
[T]B, C=[rr 1 & 2 4 & 1 -1 & 4 ]
Se C=t-1, q1(t), q2(t), calcule q(t)=3(q1(t)+q2(t)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a pergunta está me pedindo. Temos um subespaço vetorial formado por combinações de dois polinômios no espaço das polinômios de grau até 3, . Também temos uma transformação linear que pega esses polinômios e os transforma em polinômios de grau até 2, . A base desse espaço de chegada é composta por , e sabemos como se comporta em relação às bases e através de uma matriz. O que precisamos fazer é encontrar os polinômios e e, finalmente, calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a matriz 1 & 2 4 & 1 -1 & 4 . Essa matriz nos diz como a transformação atua nos vetores da base e como esses resultados são representados na base . A matriz dada é:
Isso significa que, se tivermos os vetores da base , aplicamos neles e expressamos o resultado na base , os coeficientes serão as colunas dessa matriz.

Passo 3

Vamos identificar os vetores da base B = -5 + t - 2t^2 + t^3,; 1 + 2t - t^2 - 2t^3 :
p1(t) = -5 + t - 2t^2 + t^3 p2(t) = 1 + 2t - t^2 - 2t^3
Chamemos esses vetores de e respectivamente:

Passo 4

Sabemos que T(p(t)) = 2p'(t) + p(0)(t - 1) é definida por:
Onde é a derivada de e é o polinômio avaliado em .
Vamos calcular e .

Passo 5

Vamos calcular p1(t) = -5 + t - 2t^2 + t^3 p1'(t) = 1 - 4t + 3t^2 :
Primeiro, achamos T(p1(t)) = 2(1 - 4t + 3t^2) + (-5)(t - 1) = 2 - 8t + 6t^2 -5t + 5 = (2 + 5) + (-8t -5t) + 6t^2 = 7 -13t + 6t^2 :
Agora, .
Aplicando a definição de :

Passo 6

Agora, vamos calcular p2(t) = 1 + 2t - t^2 - 2t^3 p2'(t) = 2 - 2t - 6t^2 :
Primeiro, achamos T(p2(t)) = 2(2 - 2t - 6t^2) + 1(t - 1) = 4 -4t -12t^2 + t -1 = (4 -1) + (-4t + t) -12t^2 = 3 -3t -12t^2 :
Agora, .
Aplicando a definição de :

Passo 7

Agora que temos T(p1(t)) = 1(t - 1) + 4q1(t) - q2(t) T(p2(t)) = 2(t - 1) + 1q1(t) + 4q2(t) e 1 & 2 4 & 1 -1 & 4 , precisamos expressar esses resultados na base .
Isso significa que:
Essas equações vêm da matriz :

Passo 8

Vamos igualar os polinômios correspondentes:
Para 7 -13t + 6t^2 = 1(t - 1) + 4q1(t) - q2(t) :
3 -3t -12t^2 = 2(t - 1) + 1q1(t) + 4q2(t)
Para 7 -13t + 6t^2 = t -1 + 4q1(t) - q2(t) Rightarrow 8 -14t + 6t^2 = 4q1(t) - q2(t) :
3 -3t -12t^2 = 2t -2 + q1(t) + 4q2(t) Rightarrow 5 -5t -12t^2 = q1(t) + 4q2(t)
Simplificando as equações:
Para :
Para :

Passo 9

Agora, temos um sistema de equações para 4q1(t) - q2(t) = 8 -14t + 6t^2 (1) q1(t) + 4q2(t) = 5 -5t -12t^2 (2) e :
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 10

Primeiro, da equação (2), podemos isolar q1(t) = 5 -5t -12t^2 -4q2(t) :
4(5 -5t -12t^2 -4q2(t)) - q2(t) = 8 -14t + 6t^2
Agora, substituímos essa expressão na equação (1):
20 -20t -48t^2 -16q2(t) - q2(t) = 8 -14t + 6t^2 20 -20t -48t^2 -17q2(t) = 8 -14t + 6t^2 -17q2(t) = 8 -14t + 6t^2 -20 +20t +48t^2 -17q2(t) = -12 +6t +54t^2 q2(t) = 12 -6t -54t^217 q2(t) = 1217 - 617t - 5417t^2
Simplificando:

Passo 11

Agora, substituímos q1(t) = 5 -5t -12t^2 -4( 1217 - 617t - 5417t^2 ) = 5 -5t -12t^2 - 4817 + 2417t + 21617t^2 = (5 - 4817) + (-5t + 2417t) + (-12t^2 + 21617t^2) = 85 -4817 + -85t +24t17 + -204t^2 +216t^217 = 3717 - 6117t + 1217t^2 de volta na equação para :

Passo 12

Agora que temos q1(t) + q2(t) = ( 3717 - 6117t + 1217t^2 ) + ( 1217 - 617t - 5417t^2 ) = 37 +1217 + -61 -617t + 12 -5417t^2 = 4917 - 6717t - 4217t^2 e q(t) = 3 ( 4917 - 6717t - 4217t^2 ) = 14717 - 20117t - 12617t^2 , podemos calcular :
Multiplicando por 3:

Resposta

q(t) = 14717 - 20117t - 12617t^2

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