Mostre que
é isomorfo ao subespaço vetorial de
definido por
exibindo um isomorfismo
. Prove que a transformação linear
exibida é, de fato, um isomorfismo.
Passo 1
Então, galera, vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos mostrar que o espaço vetorial
é isomorfo a um subespaço de
. O subespaço
é definido por todos os vetores
em
que satisfazem a equação
. Para isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo entre espaços vetoriais e como construir uma transformação linear que faça essa correspondência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um isomorfismo entre dois espaços vetoriais é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora (não junta dois vetores diferentes) e sobrejetora (atinge todo o espaço alvo). Nosso objetivo é encontrar uma transformação linear
que atenda a essas condições.
Passo 3
Vamos começar definindo a transformação linear
. Como estamos mapeando de
, vamos chamar os vetores de entrada de
. Queremos que
seja um vetor em
, ou seja, que satisfaça
. Precisamos escolher
,
e
em termos de
e
de forma que essa equação seja satisfeita.
Passo 4
Uma maneira simples de garantir que
seja satisfeita é expressar uma das variáveis em termos das outras duas. Vamos resolver a equação para
:
Agora, podemos escolher
e
como parâmetros livres. Vamos associar
a
e
a
. Assim, temos:
Portanto, a transformação
pode ser definida como:
Passo 5
Agora, vamos provar que
é um isomorfismo. Primeiro, verificamos se
é linear. Uma transformação é linear se preserva a adição e a multiplicação por escalar. Vamos testar:
Para vetores
e
:
E para um escalar
:
Então,
é linear.
Passo 6
Em seguida, vamos verificar se
é injetora. Para isso, mostramos que o núcleo de
contém apenas o vetor zero. Ou seja, se
, então
deve ser
.
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira, temos
. Portanto, o único vetor no núcleo é
, o que mostra que
é injetora.
Passo 7
Por fim, vamos verificar se
é sobrejetora, ou seja, se todo vetor em
pode ser alcançado por algum vetor em
através de
. Seja um vetor qualquer em
,
, que satisfaz
. Podemos resolver para
:
Assim, dado
, podemos encontrar um vetor em
que mapeia para
:
Portanto, para qualquer
, existe um
tal que
. Isso mostra que
é sobrejetora.
Resposta
Assim, a transformação linear
é um isomorfismo entre
e o subespaço
de
, já que
é linear, injetora e sobrejetora.