Mostre que R^2 é isomorfo ao subespaço vetorial de R^3 definido por
S=(x, y, z) in R^3 mid x-y+2 z-0
exibindo um isomorfismo T: R^2 S. Prove que a transformação linear T exibida é, de fato, um isomorfismo.

Passo 1

Então, galera, vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos mostrar que o espaço vetorial R^2 é isomorfo a um subespaço de R^3. O subespaço S é definido por todos os vetores (x, y, z) em R^3 que satisfazem a equação x - y + 2z = 0. Para isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo entre espaços vetoriais e como construir uma transformação linear que faça essa correspondência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um isomorfismo entre dois espaços vetoriais é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora (não junta dois vetores diferentes) e sobrejetora (atinge todo o espaço alvo). Nosso objetivo é encontrar uma transformação linear T: R^2 S que atenda a essas condições.

Passo 3

Vamos começar definindo a transformação linear T. Como estamos mapeando de R^2, vamos chamar os vetores de entrada de (a, b). Queremos que T(a, b) seja um vetor em S, ou seja, que satisfaça x - y + 2z = 0. Precisamos escolher x, y e z em termos de a e b de forma que essa equação seja satisfeita.

Passo 4

Uma maneira simples de garantir que x - y + 2z = 0 seja satisfeita é expressar uma das variáveis em termos das outras duas. Vamos resolver a equação para x:
x = y - 2z
Agora, podemos escolher y e z como parâmetros livres. Vamos associar a a y e b a z. Assim, temos:
x = a - 2b
Portanto, a transformação T pode ser definida como:
T(a, b) = (a - 2b, a, b)

Passo 5

Agora, vamos provar que T é um isomorfismo. Primeiro, verificamos se T é linear. Uma transformação é linear se preserva a adição e a multiplicação por escalar. Vamos testar:
Para vetores (a1, b1) e (a2, b2):
T(a1 + a2, b1 + b2) = ((a1 + a2) - 2(b1 + b2), a1 + a2, b1 + b2)
= (a1 - 2b1 + a2 - 2b2, a1 + a2, b1 + b2)
= (a1 - 2b1, a1, b1) + (a2 - 2b2, a2, b2)
= T(a1, b1) + T(a2, b2)
E para um escalar k:
T(k a, k b) = (k a - 2k b, k a, k b)
= k(a - 2b, a, b)
= k T(a, b)
Então, T é linear.

Passo 6

Em seguida, vamos verificar se T é injetora. Para isso, mostramos que o núcleo de T contém apenas o vetor zero. Ou seja, se T(a, b) = (0, 0, 0), então (a, b) deve ser (0, 0).
T(a, b) = (a - 2b, a, b) = (0, 0, 0)
Isso nos dá o sistema:
a - 2b = 0
a = 0
b = 0
Da segunda equação, a = 0. Substituindo na primeira, temos 0 - 2b = 0 Rightarrow b = 0. Portanto, o único vetor no núcleo é (0, 0), o que mostra que T é injetora.

Passo 7

Por fim, vamos verificar se T é sobrejetora, ou seja, se todo vetor em S pode ser alcançado por algum vetor em R^2 através de T. Seja um vetor qualquer em S, (x, y, z), que satisfaz x - y + 2z = 0. Podemos resolver para x:
x = y - 2z
Assim, dado (y, z), podemos encontrar um vetor em R^2 que mapeia para (x, y, z):
T(y, z) = (y - 2z, y, z)
Portanto, para qualquer (x, y, z) in S, existe um (y, z) in R^2 tal que T(y, z) = (x, y, z). Isso mostra que T é sobrejetora.

Resposta

Assim, a transformação linear T(a, b) = (a - 2b, a, b) é um isomorfismo entre R^2 e o subespaço S de R^3, já que T é linear, injetora e sobrejetora.

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