Mostre que R^n é isomorfo a R^n times 1, exibindo um isomorfismo T: R^n R^n times 1. Prove que a transformação linear T exibida é, de fato, um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o espaço é isomorfo a . Isso está ligado ao conteúdo de transformações lineares e isomorfismos. Para resolver, vamos precisar entender o que é um isomorfismo, definir uma transformação linear específica entre esses espaços e provar que ela é de fato um isomorfismo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a transformação T(x) = x . A ideia aqui é criar uma função que mapeie cada vetor em T(x) = x1 x2 vdots xn para uma coluna correspondente em . Então, podemos definir:
Ou seja, para qualquer vetor em , o retorna como uma matriz coluna:

Passo 3

Agora, precisamos provar que T(u + v) = T(u1 + v1, dots, un + vn) = u1 + v1 vdots un + vn = u1 vdots un + v1 vdots vn = T(u) + T(v) é uma transformação linear. Lembre-se que uma função T(cu) = T(cu1, dots, cun) = cu1 vdots cun = c u1 vdots un = cT(u) é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada uma:
  • Adição:
    Seja e . Então,
  • Multiplicação por escalar:
    Seja um escalar e . Então,
Como as duas propriedades são satisfeitas, é uma transformação linear.

Passo 4

Agora, vamos provar que x1 vdots xn = y1 vdots yn é um isomorfismo, ou seja, que a1 vdots an é bijetora (injetora e sobrejetora).
  • Injetora: Queremos mostrar que se T(x) = a1 vdots an = A , então .
    Se , ent��o:
    O que implica que para todo , logo .
  • Sobrejetora: Queremos mostrar que para qualquer matriz coluna , existe um vetor tal que .
    Dada uma matriz coluna , basta escolher . Assim,
Como é injetora e sobrejetora, ela é bijetora.

Resposta

Portanto, a transformação linear definida por é um isomorfismo, demonstrando que é isomorfo a .

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