Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a imagem da transformação linear definida por
Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear e como representá-la usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos ao aplicar a algum vetor em . Em termos mais simples, é o espaço “alcançado” pela transformação.
Passo 3
Para encontrar , vamos representar a transformação como uma matriz. Cada coluna da matriz será a imagem dos vetores da base canônica de .
A base canônica de é formada pelos vetores:
Passo 4
Vamos aplicar a cada um desses vetores:
Passo 5
Agora, vamos montar a matriz de usando essas imagens como colunas:
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz, ou seja, é o espaço coluna de .
Passo 6
Para encontrar uma base para Coluna 1 = Coluna 2 = 1 0 1 0 , precisamos identificar quais colunas são linearmente independentes. Observando a matriz , vemos que as primeiras duas colunas são iguais:
Isso significa que a segunda coluna não adiciona nenhuma nova direção ao espaço.
Passo 7
Agora, vamos verificar se as colunas 1, 3 e 4 são linearmente independentes. Colocamos essas colunas em uma nova matriz B = 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 1 & -1 & 1 0 & 0 & 1 :