Considere a transformação linear T: R^4 R^4 dada por
T(x, y, z, w)=(x+y, z-w, x+y-z+w, w)
b) Encontre Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a imagem da transformação linear T(x, y, z, w) = (x + y, z - w, x + y - z + w, w) definida por
Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a imagem de uma transformação linear e como representá-la usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos ao aplicar a algum vetor em . Em termos mais simples, é o espaço “alcançado” pela transformação.

Passo 3

Para encontrar e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1) , vamos representar a transformação como uma matriz. Cada coluna da matriz será a imagem dos vetores da base canônica de .
A base canônica de é formada pelos vetores:

Passo 4

Vamos aplicar a cada um desses vetores:

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz de A = 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -1 1 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 usando essas imagens como colunas:
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz, ou seja, é o espaço coluna de .

Passo 6

Para encontrar uma base para Coluna 1 = Coluna 2 = 1 0 1 0 , precisamos identificar quais colunas são linearmente independentes. Observando a matriz , vemos que as primeiras duas colunas são iguais:
Isso significa que a segunda coluna não adiciona nenhuma nova direção ao espaço.

Passo 7

Agora, vamos verificar se as colunas 1, 3 e 4 são linearmente independentes. Colocamos essas colunas em uma nova matriz B = 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 1 & -1 & 1 0 & 0 & 1 :
det(B) = 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 0) - 0 + 0 = 1 cdot 1 = 1 neq 0
Calculamos o determinante de para verificar a independência:
Como o determinante é diferente de zero, as colunas são linearmente independentes.

Passo 8

Portanto, uma base para 1 0 1 0 , 0 1 -1 0 , 0 -1 1 1 é formada pelas colunas 1, 3 e 4 da matriz :
Isso significa que qualquer vetor na imagem de pode ser escrito como combinação linear dessas três colunas.

Resposta

A imagem de 1 0 1 0 , 0 1 -1 0 , 0 -1 1 1 é o subespaço de Im(T) = span 1010, 01-10, 0-111 gerado pelos vetores
Ou seja,

Exercícios relacionados

(3, 5 pontos) Resolva o sistema de equações lineares em questão utilizando o conceito de matriz inversa, sabendo que det(C)=175 e barC=[ccc2 & 13 & -29 17 & 23 & 16 24 & -19 & 2].
(1,5 pontos) Encontre a matriz adjunta de A, denotada por Adj(A), sabendo que barA=[cccc175 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 26 & -58 0 & 34 & 46 & 32 0 & 48 & -38 & 4] é a matriz dos cofatores.
Determine as seguintes matrizes:
(b) B=(bi j)2 times 3 tal que bi j=cc2, & se i=j i+j, & se i neq j.
Determine as seguintes matrizes:
© C=(ci j)3 times 3 tal que ci j=lci^2-j^2, & se i+j é par i^2+j^2, & se i+j é ímpar ééí.