O subconjunto
e
do
é subespaço vetorial do
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A questão está pedindo para verificarmos se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se ele satisfaz três condições básicas:
- Contém o vetor zero: O vetor zero de
deve estar em . - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em
e somá-los, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em
e multiplicá-lo por qualquer número escalar, o resultado também deve estar em .
Passo 3
Vamos começar verificando se
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz as condições dadas:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Seja
e
dois vetores em
. Isso significa que:
Vamos somar
e
:
Agora, verificamos se esse vetor está em
:
Portanto,
também está em
.
Passo 5
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
um vetor em
e
um escalar qualquer. Isso significa que:
Vamos multiplicar
por
:
Agora, verificamos se esse vetor está em
:
Portanto,
também está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.