O subconjunto W=(x, y, z, w) in R^4 mid x-y=0 e z-w=0 do R^4 é subespaço vetorial do R^4 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A questão está pedindo para verificarmos se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se ele satisfaz três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero de deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em e somá-los, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em e multiplicá-lo por qualquer número escalar, o resultado também deve estar em .

Passo 3

Vamos começar verificando se x - y = 0 Rightarrow 0 - 0 = 0 (Verdadeiro) contém o vetor zero. O vetor zero em z - w = 0 Rightarrow 0 - 0 = 0 (Verdadeiro) é . Vamos ver se ele satisfaz as condições dadas:
Então, o vetor zero está em .

Passo 4

Agora, vamos verificar se x1 - y1 = 0 e z1 - w1 = 0 é fechado sob adição. Seja x2 - y2 = 0 e z2 - w2 = 0 e u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2) dois vetores em (x1 + x2) - (y1 + y2) = (x1 - y1) + (x2 - y2) = 0 + 0 = 0 . Isso significa que:
(z1 + z2) - (w1 + w2) = (z1 - w1) + (z2 - w2) = 0 + 0 = 0
Vamos somar e :
Agora, verificamos se esse vetor está em :
Portanto, também está em .

Passo 5

Por último, vamos verificar se x - y = 0 e z - w = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Seja c cdot u = (c x, c y, c z, c w) um vetor em (c x) - (c y) = c (x - y) = c cdot 0 = 0 e (c z) - (c w) = c (z - w) = c cdot 0 = 0 um escalar qualquer. Isso significa que:
Vamos multiplicar por :
Agora, verificamos se esse vetor está em :
Portanto, também está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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