Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por
T(x, y, z)=(z, x-y,-z)
© T é sobrejetora? T é injetora? T é um isomorfismo? Justifique.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T(x, y, z) = (z, x - y, -z) definida por:
A pergunta é verificar se é sobrejetora, injetora e se é um isomorfismo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, como imagem, núcleo, injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Sobrejetora: Uma transformação linear é sobrejetora se sua imagem é todo o espaço codomínio. Ou seja, para todo vetor z = a x - y = b -z = c em , existe pelo menos um vetor em tal que .
Vamos verificar se qualquer vetor pode ser obtido por . Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação, temos . Da terceira equação, , o que implica . Portanto, para existir solução, deve-se ter . Se essa condição for satisfeita, podemos escolher para qualquer valor de .
Como nem todo vetor satisfaz , a transformação não é sobrejetora.

Passo 3

Injetora: Uma transformação linear é injetora se o único vetor no núcleo é o vetor zero. O núcleo de z = 0 x - y = 0 -z = 0 é o conjunto de todos os vetores tais que .
Vamos resolver :
Da primeira equação, . Da segunda, . E da terceira, confirma que .
Portanto, o núcleo de é todo vetor da forma , onde é um número real. Isso significa que o núcleo não contém apenas o vetor zero, logo não é injetora.

Passo 4

Isomorfismo: Uma transformação linear é um isomorfismo se ela é tanto injetora quanto sobrejetora. Como já vimos que não é nem sobrejetora nem injetora, concluímos que não é um isomorfismo.

Resposta

A transformação não é sobrejetora, não é injetora e, portanto, não é um isomorfismo.

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