Considere a transformação linear dada por
© é sobrejetora? é injetora? é um isomorfismo? Justifique.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por:
A pergunta é verificar se é sobrejetora, injetora e se é um isomorfismo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, como imagem, núcleo, injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Sobrejetora: Uma transformação linear é sobrejetora se sua imagem é todo o espaço codomínio. Ou seja, para todo vetor em , existe pelo menos um vetor em tal que .
Vamos verificar se qualquer vetor pode ser obtido por . Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação, temos . Da terceira equação, , o que implica . Portanto, para existir solução, deve-se ter . Se essa condição for satisfeita, podemos escolher para qualquer valor de .
Como nem todo vetor satisfaz , a transformação não é sobrejetora.

Passo 3

Injetora: Uma transformação linear é injetora se o único vetor no núcleo é o vetor zero. O núcleo de é o conjunto de todos os vetores tais que .
Vamos resolver :
Da primeira equação, . Da segunda, . E da terceira, confirma que .
Portanto, o núcleo de é todo vetor da forma , onde é um número real. Isso significa que o núcleo não contém apenas o vetor zero, logo não é injetora.

Passo 4

Isomorfismo: Uma transformação linear é um isomorfismo se ela é tanto injetora quanto sobrejetora. Como já vimos que não é nem sobrejetora nem injetora, concluímos que não é um isomorfismo.

Resposta

A transformação não é sobrejetora, não é injetora e, portanto, não é um isomorfismo.

Exercícios relacionados

Verifique se as transformações abaixo são lineares:
§ dada por (conhecida como projeção ortogonal sobre o plano xy);
Diagonalize as matrizes abaixo. Se a matriz for simétrica, diagonalize ortogonalmente.
©
Determine a matriz canônica das seguintes transformações lineares:
(b) dada por .
Mostre que os polinômios formam uma base de .