Verifique se as transformações abaixo são lineares:
§
dada por
(conhecida como projeção ortogonal sobre o plano xy);
§
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação
definida por
. Queremos verificar se essa transformação é linear. Para isso, precisamos lembrar que uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos analisar cada uma delas passo a passo.
Passo 2
A primeira propriedade que vamos verificar é a aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores
e
em
, a transformação deve satisfazer:
Vamos escolher dois vetores genéricos
e
e verificar essa propriedade.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como
, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
A segunda propriedade a verificar é a homogeneidade. Isso significa que para qualquer vetor
em
e qualquer escalar
, a transformação deve satisfazer:
Vamos verificar isso usando o vetor genérico
e um escalar
.
Passo 5
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como
, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como a transformação
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que
é uma transformação linear.