Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(p) dada por (conhecida como projeção ortogonal sobre o plano xy);
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação definida por . Queremos verificar se essa transformação é linear. Para isso, precisamos lembrar que uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades principais: **aditividade** e **homogeneidade**. Vamos analisar cada uma delas passo a passo.
Passo 2
A primeira propriedade que vamos verificar é a **aditividade**. Isso significa que para quaisquer vetores e em , a transformação deve satisfazer:
Vamos escolher dois vetores genéricos e e verificar essa propriedade.
Passo 3
Calculando :
Agora, calculando :
Como , a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
A segunda propriedade a verificar é a **homogeneidade**. Isso significa que para qualquer vetor em e qualquer escalar , a transformação deve satisfazer:
Vamos verificar isso usando o vetor genérico e um escalar .
Passo 5
Calculando :
Agora, calculando :
Como , a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como a transformação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que é uma transformação linear.
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Diagonalize as matrizes abaixo. Se a matriz for simétrica, diagonalize ortogonalmente.
(c)
Identifique a connica pelo processo de diagonalização por matriz ortogonal. Calcule os focos, o centro, os vértices e as retas assíntotas. Faça um esboço do gráfico (no sistema de coordenadas original) descrevendo a(s) mudança(s) de coordenadas utilizada(s).
a) ;
Considere a transformação linear dada por
(c) é sobrejetora? é injetora? é um isomorfismo? Justifique.
Determine a matriz canônica das seguintes transformações lineares:
(b) dada por .