Verifique se as transformações abaixo são lineares:
§ T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x, y, 0) (conhecida como projeção ortogonal sobre o plano xy);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação definida por . Queremos verificar se essa transformação é linear. Para isso, precisamos lembrar que uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos analisar cada uma delas passo a passo.

Passo 2

A primeira propriedade que vamos verificar é a aditividade. Isso significa que para quaisquer vetores T(u + v) = T(u) + T(v) e em , a transformação deve satisfazer:
Vamos escolher dois vetores genéricos e e verificar essa propriedade.

Passo 3

Calculando u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) :
T(u + v) = (x1 + x2, y1 + y2, 0)
T(u) = (x1, y1, 0)
Agora, calculando T(v) = (x2, y2, 0) :
T(u) + T(v) = (x1 + x2, y1 + y2, 0 + 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0)
Como , a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

A segunda propriedade a verificar é a homogeneidade. Isso significa que para qualquer vetor T(cu) = cT(u) em e qualquer escalar , a transformação deve satisfazer:
Vamos verificar isso usando o vetor genérico e um escalar .

Passo 5

Calculando cu = (cx, cy, cz) :
T(cu) = (cx, cy, 0)
T(u) = (x, y, 0)
Agora, calculando cT(u) = (c x, c y, c cdot 0) = (c x, c y, 0) :
Como , a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como a transformação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que é uma transformação linear.

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