Diagonalize as matrizes abaixo. Se a matriz for simétrica, diagonalize ortogonalmente.
© [ll1 & 5 2 & 4]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que diagonalizar a matriz abaixo:
1 & 5 2 & 4
Como a matriz não é simétrica (porque 5 ≠ 2), não precisamos fazer a diagonalização de forma ortogonal. Vamos usar os conceitos de autovalores e autovetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde 1 - lambda & 5 2 & 4 - lambda é a matriz identidade e (1 - lambda)(4 - lambda) - (5 times 2) = 0 são os autovalores.
Vamos montar (1 - lambda)(4 - lambda) - 10 = 0 (4 - lambda - 4lambda + lambda^2) - 10 = 0 lambda^2 - 5lambda -6 = 0 :
Agora, calculamos o determinante:
Simplificando:

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática lambda = 5 pm raiz25 + 242 = 5 pm raiz492 = 5 pm 72 para encontrar os autovalores. Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda1 = 5 + 72 = 6 lambda2 = 5 - 72 = -1
Então, os autovalores são:

Passo 4

Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para 1 - 6 & 5 2 & 4 - 6 v1 v2 = -5 & 5 2 & -2 v1 v2 = 0 0 :
Resolvemos -5v1 + 5v2 = 0 Rightarrow v1 = v2 :

$$
1 1
1 + 1 & 5 2 & 4 + 1 v1 v2 = 2 & 5 2 & 5 v1 v2 = 0 0

2v1 + 5v2 = 0 Rightarrow v1 = -52v2
-5 2

$$
Isso reduz para:
Então, um autovetor é .
Para :
Resolvemos :

$$


$$
Isso reduz para:
Então, um autovetor é .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, montamos a matriz P com os autovetores como colunas:
P = 1 & -5 1 & 2
E a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal:
D = 6 & 0 0 & -1

Resposta

A diagonalização da matriz dada é P = 1 & -5 1 & 2 , D = 6 & 0 0 & -1 , onde:

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