Diagonalize as matrizes abaixo. Se a matriz for simétrica, diagonalize ortogonalmente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que diagonalizar a matriz abaixo:
Como a matriz não é simétrica (porque 5 ≠ 2), não precisamos fazer a diagonalização de forma ortogonal. Vamos usar os conceitos de autovalores e autovetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
são os autovalores.
Vamos montar
:
Agora, calculamos o determinante:
Simplificando:
Passo 3
Resolvemos a equação quadrática
para encontrar os autovalores. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
$$
$$
Isso reduz para:
Então, um autovetor é
.
Para
:
Resolvemos
:
$$
$$
Isso reduz para:
Então, um autovetor é
.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, montamos a matriz P com os autovetores como colunas:
E a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal:
Resposta
A diagonalização da matriz dada é
, onde:
Exercícios relacionados
Identifique a connica pelo processo de diagonalização por matriz ortogonal. Calcule os focos, o centro, os vértices e as retas assíntotas. Faça um esboço do gráfico (no sistema de coordenadas original) descrevendo a(s) mudança(s) de coordenadas utilizada(s).
a) ;
a)
Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(d)
(d)
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
§ dada por
(conhecida como projeção ortogonal sobre o plano xy);
§
Considere a transformação linear
dada por
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é sobrejetora?
é injetora?
é um isomorfismo? Justifique.