Diagonalize as matrizes abaixo. Se a matriz for simétrica, diagonalize ortogonalmente.
©

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que diagonalizar a matriz abaixo:
Como a matriz não é simétrica (porque 5 ≠ 2), não precisamos fazer a diagonalização de forma ortogonal. Vamos usar os conceitos de autovalores e autovetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e são os autovalores.
Vamos montar :
Agora, calculamos o determinante:
Simplificando:

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :

$$


$$
Isso reduz para:
Então, um autovetor é .
Para :
Resolvemos :

$$


$$
Isso reduz para:
Então, um autovetor é .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, montamos a matriz P com os autovetores como colunas:
E a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal:

Resposta

A diagonalização da matriz dada é , onde:

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Identifique a connica pelo processo de diagonalização por matriz ortogonal. Calcule os focos, o centro, os vértices e as retas assíntotas. Faça um esboço do gráfico (no sistema de coordenadas original) descrevendo a(s) mudança(s) de coordenadas utilizada(s).
a) ;
Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(d)
Verifique se as transformações abaixo são lineares:
§ dada por (conhecida como projeção ortogonal sobre o plano xy);
Considere a transformação linear dada por
© é sobrejetora? é injetora? é um isomorfismo? Justifique.