Seja
uma transformação linear entre os espaços vetoriais
e
, e
um subconjunto L.I. Mostre que se
possui núcleo trivial,
, então a imagem de
por de meio
, é um subconjunto
de
.
Forneça um exemplo de uma transformação linear
com núcleo não trivial e um subconjunto
em
, tais que
não é
em
.
Forneça um exemplo de uma transformação linear
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos uma transformação linear $ T: V \rightarrow W $ entre dois espaços vetoriais $ V $ e $ W $. Também temos um subconjunto $ B $ de $ V $ que é linearmente independente (L.I.). A primeira parte da questão quer que mostremos que, se o núcleo de $ T $ é trivial (ou seja, $ \mathcal{N}_T = {0_V} $), então a imagem de $ B $ por $ T $, que chamamos de $ T(B) $, também é linearmente independente em $ W $.
Na segunda parte, precisamos dar um exemplo de uma transformação linear $ T: V \rightarrow W $ que tem um núcleo não trivial e um subconjunto $ B \subseteq V $ que é L.I., mas cuja imagem $ T(B) $ não é L.I. em $ W $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa lininearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear não trivial desses vetores resulta no vetor zero. Em outras palavras, os únicos coeficientes que satisfazem $ a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_nv_n = 0 $ são $ a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0 $.
Passo 3
Agora, sobre o núcleo de uma transformação linear $ T $, denotado por $ \mathcal{N}_T $, ele é o conjunto de todos os vetores em $ V $ que são mapeados para o vetor zero em $ W $. Se $ \mathcal{N}_T = {0_V} $, isso significa que apenas o vetor zero é mapeado para zero, o que chamamos de núcleo trivial.
Passo 4
Para mostrar que $ T(B) $ é linearmente independente em $ W $, vamos supor que uma combinação linear dos vetores em $ T(B) $ resulte no vetor zero:
Como $ T $ é linear, podemos reescrever isso como:
Passo 5
Dado que $ \mathcal{N}_T = {0_V} $, isso implica que:
Mas $ B $ é linearmente independente, então a única solução para essa equação é $ a_1 = a_2 = \dots = a_n = 0 $. Portanto, $ T(B) $ também é linearmente independente.
Passo 6
Agora, para a segunda parte, precisamos de um exemplo onde o núcleo de $ T $ não é trivial e há um conjunto $ B $ linearmente independente em $ V $, mas $ T(B) $ não é linearmente independente em $ W $.
Passo 7
Vamos considerar $ V = \mathbb{R}^2 $ e $ W = \mathbb{R}^2 $. Definimos a transformação linear $ T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ por:
Passo 8
O núcleo de $ T $ é o conjunto de todos os vetores $
$ tais que $ T\left(
\right) =
$. Isso implica que $ x = 0 $, então:
Este núcleo não é trivial porque contém mais vetores além do zero.
Passo 9
Vamos escolher $ B = \left{
,
\right} $. Este conjunto $ B $ é linearmente independente em $ \mathbb{R}^2 $.
Passo 10
Aplicando $ T $ a cada vetor de $ B $, temos:
Portanto, $ T(B) = \left{
,
\right} $.
Passo 11
Agora, verificamos se $ T(B) $ é linearmente independente. Observamos que $
$ pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores em $ T(B) $:
Isso mostra que existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero, o que significa que $ T(B) $ não é linearmente independente.
Resposta
Mostramos que se a transformação linear $ T: V \rightarrow W $ tem núcleo trivial $ \mathcal{N}_T = {0_V} $, então a imagem de um conjunto linearmente independente $ B $ por $ T $, ou seja, $ T(B) $, também é linearmente independente em $ W $. Além disso, fornecemos um exemplo específico onde $ T $ possui um núcleo não trivial e um conjunto $ B $ linearmente independente em $ V $, mas cuja imagem $ T(B) $ não é linearmente independente em $ W $.