Considere a transformação linear
definida por
Determine a imagem de
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem aqui um exercício de Álgebra Linear que fala sobre uma transformação linear
. A transformação é definida por
. O que a gente precisa descobrir é a imagem dessa transformação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, como encontrar a imagem de uma transformação e usar um pouco de álgebra para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que leva vetores de um espaço vetorial para outro, respeitando duas propriedades: adição e multiplicação por escalar. No nosso caso,
está levando vetores de
(que têm 3 componentes) para
(que têm 2 componentes).
Passo 3
Agora, a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que conseguimos alcançar aplicando a transformação a qualquer vetor do espaço de partida. Ou seja, queremos encontrar todos os pares
em
que podem ser escritos como
para algum
em
.
Passo 4
Vamos escrever a transformação de forma mais clara:
Isso significa que, para qualquer vetor
que a gente escolher em
, a transformação vai nos dar um novo vetor em
cujo primeiro componente é
e o segundo é
.
Passo 5
Para achar a imagem de
, a gente pode pensar em todas as combinações possíveis de
e
. Vamos chamar esses valores de
e
, respectivamente:
Agora, queremos expressar
em termos de
,
, e
. Mas na verdade, queremos ver quais pares
são possíveis independentemente dos valores de
,
, e
.
Passo 6
Perceba que a gente pode escolher
,
, e
livremente para obter qualquer valor de
e
. Por exemplo, se a gente quer um determinado
, basta escolher
para qualquer valor de
. E para qualquer
, escolhemos
para o mesmo
. Isso mostra que não tem restrição para
e
– eles podem ser quaisquer números reais.
Passo 7
Como todo par
em
pode ser obtido dessa forma, a imagem de
é todo o espaço
. Isso significa que a transformação
consegue atingir qualquer ponto do plano bidimensional.
Resposta
A imagem da transformação linear
é todo o espaço
.