Considere a transformação linear T: R^3 R^2 definida por
T(x, y, z)=(x-y, z-y)
Determine a imagem de T.

Passo 1

Beleza, então a gente tem aqui um exercício de Álgebra Linear que fala sobre uma transformação linear T: R^3 R^2. A transformação é definida por T(x, y, z) = (x - y, z - y). O que a gente precisa descobrir é a imagem dessa transformação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, como encontrar a imagem de uma transformação e usar um pouco de álgebra para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que leva vetores de um espaço vetorial para outro, respeitando duas propriedades: adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, T está levando vetores de R^3 (que têm 3 componentes) para R^2 (que têm 2 componentes).

Passo 3

Agora, a imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que conseguimos alcançar aplicando a transformação a qualquer vetor do espaço de partida. Ou seja, queremos encontrar todos os pares (a, b) em R^2 que podem ser escritos como T(x, y, z) para algum (x, y, z) em R^3.

Passo 4

Vamos escrever a transformação de forma mais clara:
T(x, y, z) = (x - y, z - y)
Isso significa que, para qualquer vetor (x, y, z) que a gente escolher em R^3, a transformação vai nos dar um novo vetor em R^2 cujo primeiro componente é x - y e o segundo é z - y.

Passo 5

Para achar a imagem de T, a gente pode pensar em todas as combinações possíveis de x - y e z - y. Vamos chamar esses valores de a e b, respectivamente:
a = x - y b = z - y
Agora, queremos expressar (a, b) em termos de x, y, e z. Mas na verdade, queremos ver quais pares (a, b) são possíveis independentemente dos valores de x, y, e z.

Passo 6

Perceba que a gente pode escolher x, y, e z livremente para obter qualquer valor de a e b. Por exemplo, se a gente quer um determinado a, basta escolher x = a + y para qualquer valor de y. E para qualquer b, escolhemos z = b + y para o mesmo y. Isso mostra que não tem restrição para a e b – eles podem ser quaisquer números reais.

Passo 7

Como todo par (a, b) em R^2 pode ser obtido dessa forma, a imagem de T é todo o espaço R^2. Isso significa que a transformação T consegue atingir qualquer ponto do plano bidimensional.

Resposta

A imagem da transformação linear T é todo o espaço R^2.

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