Sejam
o espaço de todos os polinômios de grau menor o igual a
a transformação linear definida como
e
definida como
Determine
e
.
Passo 1
Então, temos um exercício de Álgebra Linear envolvendo transformações lineares no espaço dos polinômios de grau até 2, representado por
. As transformações são definidas por
e
. Nosso objetivo é determinar as composições dessas transformações, ou seja,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada transformação faz:
- Transformação
: Substitui por no polinômio . Ou seja, . - Transformação
: Multiplica o polinômio pela variável e depois o derivada. Formalmente, .
Para encontrar
, aplicamos
primeiro e depois
. Para encontrar
, aplicamos
primeiro e depois
.
Passo 3
Vamos representar um polinômio genérico em
como:
onde
,
, e
são constantes reais.
Passo 4
Calculando
:
-
Aplicamos
a : Expandindo: -
Agora, aplicamos
ao resultado: Calculando a derivada:Distribuindo:
Calculando
:
-
Aplicamos
a : -
Agora, aplicamos
ao resultado: Expandindo:Simplificando:
Resposta
As composições das transformações são:
e