Sejam P2[x] o espaço de todos os polinômios de grau menor o igual a 2, T: P2[x] P2[x] a transformação linear definida como
T(p(x))=p(x+1)
e S: P2[x] P2[x] definida como
S(p(x))=x p^prime(x)
Determine S circ T e T circ S.

Passo 1

Então, temos um exercício de Álgebra Linear envolvendo transformações lineares no espaço dos polinômios de grau até 2, representado por P2[x]. As transformações são definidas por T(p(x)) = p(x+1) e S(p(x)) = x p^prime(x). Nosso objetivo é determinar as composições dessas transformações, ou seja, S circ T e T circ S.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada transformação faz:
  • Transformação T: Substitui x por x+1 no polinômio p(x). Ou seja, T(p(x)) = p(x+1).
  • Transformação S: Multiplica o polinômio p(x) pela variável x e depois o derivada. Formalmente, S(p(x)) = x p^prime(x).
Para encontrar S circ T, aplicamos T primeiro e depois S. Para encontrar T circ S, aplicamos S primeiro e depois T.

Passo 3

Vamos representar um polinômio genérico em P2[x] como:
p(x) = a x^2 + b x + c
onde a, b, e c são constantes reais.

Passo 4

Calculando S circ T (p(x)):
  1. Aplicamos T a p(x):
    T(p(x)) = p(x + 1) = a (x + 1)^2 + b (x + 1) + c
    Expandindo:
    = a (x^2 + 2x + 1) + b x + b + c = a x^2 + (2a + b) x + (a + b + c)
  2. Agora, aplicamos S ao resultado:
    S(T(p(x))) = x cdot ddx ( a x^2 + (2a + b) x + (a + b + c) )
    Calculando a derivada:
    = x cdot (2a x + (2a + b))
    Distribuindo:
    = 2a x^2 + (2a + b) x
Calculando T circ S (p(x)):
  1. Aplicamos S a p(x):
    S(p(x)) = x cdot ddx (a x^2 + b x + c) = x cdot (2a x + b) = 2a x^2 + b x
  2. Agora, aplicamos T ao resultado:
    T(S(p(x))) = 2a (x + 1)^2 + b (x + 1)
    Expandindo:
    = 2a (x^2 + 2x + 1) + b x + b = 2a x^2 + 4a x + 2a + b x + b
    Simplificando:
    = 2a x^2 + (4a + b) x + (2a + b)

Resposta

As composições das transformações são:
S circ T (p(x)) = 2a x^2 + (2a + b) x
e
T circ S (p(x)) = 2a x^2 + (4a + b) x + (2a + b)

Exercícios relacionados