Determine quais das seguintes funções é uma transformação linear (Justifique!):
P[x] o espaço de todos os polinômios e G: P[x] P[x] dada por F(p(x))=p(x^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir se a função $ G: P[x] \rightarrow P[x] $, definida por $ G(p(x)) = p(x^{2}) $, é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares, que envolvem verificar duas propriedades principais: adição e escalamento. Precisamos lembrar o que define uma transformação linear e aplicar essas propriedades à função $ G $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação $ T $ entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer polinômios $ p(x) $ e $ q(x) $ em $ P[x] $ e qualquer escalar $ c $, as seguintes condições são satisfeitas:
  1. Adição: $ T(p(x) + q(x)) = T(p(x)) + T(q(x)) $
  2. Escalamento: $ T(c \cdot p(x)) = c \cdot T(p(x)) $
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura vetorial.

Passo 3

Vamos verificar a adição. Seja $ p(x) $ e $ q(x) $ dois polinômios em $ P[x] $. Aplicando $ G $ à soma deles:
p(x)
Isso mostra que $ G $ preserva a adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar o escalamento. Seja $ c $ um escalar e $ p(x) $ um polinômio em $ P[x] $. Aplicando $ G $ ao produto de $ c $ e $ p(x) $:
c
Isso mostra que $ G $ preserva o escalamento.

Passo 5

Como $ G $ satisfaz ambas as propriedades de adição e escalamento, podemos concluir que $ G $ é uma transformação linear.

Resposta

A função $ G(p(x)) = p(x^{2}) $ é uma transformação linear, pois preserva tanto a adição quanto o escalamento dos polinômios.

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