Considere a transformação linear
definida por
Determine a dimensão da imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear $ T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $ definida por $ T(x, y, z) = (x - y, z - y) $. O que a gente precisa descobrir aqui é qual é a dimensão da imagem dessa transformação. Basicamente, isso quer dizer que vamos descobrir quantos vetores diferentes a transformação $ T $ pode produzir quando a gente aplica ela em todos os vetores do espaço $ \mathbb{R}^{3} $. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de transformações lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de $ T $, denotada por $ Im(T) $, é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando $ T $ em algum vetor de $ \mathbb{R}^{3} $. Ou seja,
Nosso objetivo é encontrar quantos vetores distintos estão nessa imagem, ou seja, a dimensão desse conjunto.
Passo 3
Para descobrir a dimensão da imagem, vamos representar a transformação $ T $ por uma matriz. Cada transformação linear pode ser associada a uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, resulta na transformação aplicada. No nosso caso, $ T(x, y, z) = (x - y, z - y) $ pode ser representada pela matriz:
Aqui, as colunas da matriz correspondem aos coeficientes de $ x $, $ y $ e $ z $ nas expressões de $ T $.
Passo 4
Agora, para encontrar a dimensão da imagem de $ T $, precisamos determinar o posto da matriz $ A $, que é o número de colunas linearmente independentes da matriz. Em outras palavras, vamos ver quantas colunas da matriz $ A $ não podem ser escritas como combinação linear das outras.
Vamos analisar as colunas de $ A $:
Observamos que a terceira coluna pode ser escrita como a soma das duas primeiras:
Ops, na verdade, não é uma combinação direta. Então, vamos verificar se as duas primeiras colunas são linearmente independentes.
Passo 5
Para verificar a independência linear das duas primeiras colunas:
Suponha que exista uma combinação linear dessas colunas igual a zero:
Isso resulta no sistema:
Da segunda equação, $ b = 0 $. Substituindo na primeira, $ a = 0 $. Como a única solução é $ a = b = 0 $, as colunas são linearmente independentes.
Passo 6
Já que as duas primeiras colunas são linearmente independentes e a terceira não adiciona nenhuma nova dimensão, o posto da matriz $ A $ é 2. Portanto, a dimensão da imagem de $ T $ é 2.
Resposta
A dimensão da imagem de $ T $ é 2.