Determine quais das seguintes funções é uma transformação linear (Justifique!):
Q: R^3 R^2, definida como Q([x, y, z])=[x y, x+z].

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar se a função $ Q: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $, definida por $ Q([x, y, z]) = [xy, x + z] $, é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Precisamos verificar se essa função satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função $ T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m $ é linear se, para quaisquer vetores $ \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n $ e qualquer escalar $ c \in \mathbb{R} $, as seguintes propriedades forem verdadeiras:
  1. Aditividade: $ T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) $
  2. Homogeneidade: $ T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u}) $
Vamos verificar essas propriedades para a função $ Q $.

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Vamos considerar dois vetores quaisquer em $ \mathbb{R}^3 $:
$ \mathbf{u} = [x_1, y_1, z_1] $ e $ \mathbf{v} = [x_2, y_2, z_2] $.
Primeiro, calculamos $ \mathbf{u} + \mathbf{v} = [x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2] $.
Agora, aplicamos a função $ Q $ a $ \mathbf{u} + \mathbf{v} $:
R^3
u = [x1, y1, z1]
Agora, calculamos $ Q(\mathbf{u}) + Q(\mathbf{v}) $:
v = [x2, y2, z2]
u + v = [x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2]
Q
u + v
Comparando as duas expressões:
Q(u + v) = [(x1 + x2)(y1 + y2), (x1 + x2) + (z1 + z2)]
= [x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2, x1 + x2 + z1 + z2]
Percebemos que:
Q(u) + Q(v)
A menos que $ x_1y_2 + x_2y_1 = 0 $, o que não é garantido para todos os vetores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Vamos considerar um vetor $ \mathbf{u} = [x, y, z] $ e um escalar $ c \in \mathbb{R} $.
Primeiro, calculamos $ c\mathbf{u} = [cx, cy, cz] $.
Agora, aplicamos a função $ Q $ a $ c\mathbf{u} $:
u = [x, y, z]
c in R
Agora, calculamos $ cQ(\mathbf{u}) $:
cu = [cx, cy, cz]
Q
Comparando as duas expressões:
cu
Q(cu) = [(cx)(cy), cx + cz]
Vemos que:
= [c^2xy, c(x + z)]

Passo 5

Conclusão:
Como a função $ Q $ não satisfaz a propriedade de aditividade (Passo 3) e também não satisfaz a propriedade de homogeneidade (Passo 4) de maneira geral, podemos concluir que $ Q $ não é uma transformação linear.

Resposta

A função $ Q $ não é uma transformação linear porque não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias para uma transformação linear.

Exercícios relacionados