Determine quais das seguintes funções é uma transformação linear (Justifique!):
, definida como
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar se a função $ Q: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $, definida por $ Q([x, y, z]) = [xy, x + z] $, é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Precisamos verificar se essa função satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função $ T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m $ é linear se, para quaisquer vetores $ \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n $ e qualquer escalar $ c \in \mathbb{R} $, as seguintes propriedades forem verdadeiras:
- Aditividade: $ T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) $
- Homogeneidade: $ T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u}) $
Vamos verificar essas propriedades para a função $ Q $.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Vamos considerar dois vetores quaisquer em $ \mathbb{R}^3 $:
$ \mathbf{u} = [x_1, y_1, z_1] $ e $ \mathbf{v} = [x_2, y_2, z_2] $.
$ \mathbf{u} = [x_1, y_1, z_1] $ e $ \mathbf{v} = [x_2, y_2, z_2] $.
Primeiro, calculamos $ \mathbf{u} + \mathbf{v} = [x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2] $.
Agora, aplicamos a função $ Q $ a $ \mathbf{u} + \mathbf{v} $:
Agora, calculamos $ Q(\mathbf{u}) + Q(\mathbf{v}) $:
Comparando as duas expressões:
Percebemos que:
A menos que $ x_1y_2 + x_2y_1 = 0 $, o que não é garantido para todos os vetores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Vamos considerar um vetor $ \mathbf{u} = [x, y, z] $ e um escalar $ c \in \mathbb{R} $.
Primeiro, calculamos $ c\mathbf{u} = [cx, cy, cz] $.
Agora, aplicamos a função $ Q $ a $ c\mathbf{u} $:
Agora, calculamos $ cQ(\mathbf{u}) $:
Comparando as duas expressões:
Vemos que:
Passo 5
Conclusão:
Como a função $ Q $ não satisfaz a propriedade de aditividade (Passo 3) e também não satisfaz a propriedade de homogeneidade (Passo 4) de maneira geral, podemos concluir que $ Q $ não é uma transformação linear.
Resposta
A função $ Q $ não é uma transformação linear porque não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias para uma transformação linear.