Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada x^2+y^2=2 z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que pede para a gente encontrar a equação em coordenadas esféricas de uma superfície que, em coordenadas cartesianas, é dada por .
Aqui, a gente vai usar conceitos de coordenadas cartesianas e esféricas. Vamos precisar saber como converter de uma para a outra e entender um pouco sobre as fórmulas que relacionam essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a conversão entre coordenadas cartesianas e esféricas :
Onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo no plano a partir do eixo .
  • é o ângulo a partir do eixo .

Passo 3

Agora, vamos pegar a equação dada em coordenadas cartesianas: .
Usando as fórmulas de conversão:
  • Isso simplifica para
  • Sabendo que , fica

Passo 4

Vamos substituir na equação original pela sua expressão em coordenadas esféricas:
Agora, nossa equação fica:

Passo 5

Vamos resolver para . Primeiro, podemos dividir ambos os lados da equação por (considerando ):
Agora, isolamos :

Resposta

A equação em coordenadas esféricas da superfície é:
rho = 2 cos phisin^2 phi

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