Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que pede para a gente encontrar a equação em coordenadas esféricas de uma superfície que, em coordenadas cartesianas, é dada por
.
Aqui, a gente vai usar conceitos de coordenadas cartesianas e esféricas. Vamos precisar saber como converter de uma para a outra e entender um pouco sobre as fórmulas que relacionam essas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona a conversão entre coordenadas cartesianas
e esféricas
:
Onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo no plano a partir do eixo . -
é o ângulo a partir do eixo .
Passo 3
Agora, vamos pegar a equação dada em coordenadas cartesianas:
.
Usando as fórmulas de conversão:
-
- Isso simplifica para
- Sabendo que
, fica
Passo 4
Vamos substituir
na equação original pela sua expressão em coordenadas esféricas:
Agora, nossa equação fica:
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, podemos dividir ambos os lados da equação por
(considerando
):
Agora, isolamos
:
Resposta
A equação em coordenadas esféricas da superfície é:
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Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(b) definida por
.
(b)
Considere a transformação linear
definida por
Verifique se
é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine
.
Determine a transformação linear
que satisfaz:
Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada