Considere a transformação linear T: R^3 R^3 definida por
T(x, y, z)=(x+2 y+3 z, y+2 z, z)
Verifique se T é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine T^-1(x, y, z).

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer! Temos uma transformação linear T(x, y, z) = (x + 2y + 3z, y + 2z, z) definida por:
Nosso objetivo é verificar se essa transformação é um isomorfismo. Se for, também vamos descobrir qual é a sua inversa, denotada por .
Para isso, vamos utilizar conceitos de transformações lineares, matrizes, e determinantes. Precisamos representar como uma matriz, calcular seu determinante e, se for invertível, encontrar a matriz inversa que nos dará .

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T(x, y, z) = x + 2y + 3z y + 2z z como uma matriz. Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes de A = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 nas componentes de .
A transformação dada é:
Então, a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 1 times 1 times 1 = 1 . O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, então é invertível e, portanto, é um isomorfismo.
Como é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Calculando:
Como , concluímos que é invertível.

Passo 4

Como A^-1 = 1 & -2 & 1 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1 é invertível, sabemos que é um isomorfismo. Agora, vamos encontrar a matriz inversa , que nos permitirá determinar .
Para matrizes triangulares com 1 na diagonal, a inversa pode ser encontrada facilmente. Vamos calcular :

Passo 5

Com a matriz inversa T^-1(x, y, z) = A^-1 x y z = 1 & -2 & 1 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1 x y z , podemos agora escrever a transformação inversa T^-1(x, y, z) = x - 2y + z y - 2z z . Se é a matriz inversa, então:
Fazendo a multiplicação:

Resposta

Sim, T^-1(x, y, z) = (x - 2y + z, y - 2z, z) é um isomorfismo. A transformação inversa é dada por:

Exercícios relacionados

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superficie cuja equaçào em coordenadas esféricas é dada phi=pi / 4
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada z^2 sen theta=r^3
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
© T: P2 P2 definida por T(p(t))=p^prime prime(t) t^2.
Sejam T: R^3 R^2 e S: R^2 R^2 transformações lineares definidas por
T(x, y, z)=(2 x, y+z) e S(x, y)=(y, x)
Determine (S circ T)(x, y, z).