Verifique se é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine .
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer! Temos uma transformação linear definida por:
Nosso objetivo é verificar se essa transformação é um isomorfismo. Se for, também vamos descobrir qual é a sua inversa, denotada por .
Para isso, vamos utilizar conceitos de transformações lineares, matrizes, e determinantes. Precisamos representar como uma matriz, calcular seu determinante e, se for invertível, encontrar a matriz inversa que nos dará .
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes de nas componentes de .
A transformação dada é:
Então, a matriz associada a é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 1 times 1 times 1 = 1 . O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, então é invertível e, portanto, é um isomorfismo.
Como é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Calculando:
Como , concluímos que é invertível.
Passo 4
Como A^-1 = 1 & -2 & 1 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1 é invertível, sabemos que é um isomorfismo. Agora, vamos encontrar a matriz inversa, que nos permitirá determinar .
Para matrizes triangulares com 1 na diagonal, a inversa pode ser encontrada facilmente. Vamos calcular :
Passo 5
Com a matriz inversa T^-1(x, y, z) = A^-1 x y z = 1 & -2 & 1 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1 x y z , podemos agora escrever a transformação inversa T^-1(x, y, z) = x - 2y + z y - 2z z . Se é a matriz inversa, então:
Fazendo a multiplicação:
Resposta
Sim, T^-1(x, y, z) = (x - 2y + z, y - 2z, z) é um isomorfismo. A transformação inversa é dada por: