Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
© T: P2 P2 definida por T(p(t))=p^prime prime(t) t^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente determinar se a função definida por é uma transformação linear. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e depois verificar duas propriedades essenciais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma função é uma transformação linear se, para quaisquer dois polinômios e em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa função .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Vamos considerar dois polinômios quaisquer em p(t) = a t^2 + b t + c :
q(t) = d t^2 + e t + f
p(t) + q(t) = (a + d) t^2 + (b + e) t + (c + f)
Calculando (p + q)''(t) = 2(a + d) :
T(p(t) + q(t)) = 2(a + d) t^2
T(p(t)) = 2a t^2
T(q(t)) = 2d t^2
Agora, calculando T(p(t)) + T(q(t)) = 2a t^2 + 2d t^2 = 2(a + d) t^2 :
Como , a aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Vamos pegar um escalar a cdot p(t) = a b t^2 + a c t + a d e um polinômio (a cdot p)''(t) = 2 a b .
Calculando T(a cdot p(t)) = 2 a b t^2 :
T(p(t)) = 2b t^2
a cdot T(p(t)) = a cdot 2b t^2 = 2 a b t^2
Agora, calculando :
Como , a homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma transformação linear.

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