Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
©
definida por
.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente determinar se a função
definida por
é uma transformação linear. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e depois verificar duas propriedades essenciais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma função
é uma transformação linear se, para quaisquer dois polinômios
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa função
.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Vamos considerar dois polinômios quaisquer em
:
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como
, a aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Vamos pegar um escalar
e um polinômio
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como
, a homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Considere a transformação linear
definida por
Verifique se
é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine
.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superficie cuja equaçào em coordenadas esféricas é dada
Sejam
e
transformações lineares definidas por
Determine
.
Se
, então
.