Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superficie cuja equaçào em coordenadas esféricas é dada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de geometria envolvendo coordenadas esféricas e cartesianas. A gente precisa transformar uma equação que está em coordenadas esféricas, especificamente
, para uma equação em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender como converter entre esses dois sistemas de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como são as coordenadas esféricas: elas são definidas por três valores —
, que é a distância do ponto até a origem;
, que é o ângulo no plano xy a partir do eixo x; e
, que é o ângulo de inclinação em relação ao eixo z. No nosso caso, a equação dada é
, o que significa que todos os pontos da superfície estão a um ângulo de 45 graus em relação ao eixo z.
Passo 3
Agora, vamos lembrar das fórmulas de conversão de coordenadas esféricas para cartesianas:
Como
, temos
.
Passo 4
Substituindo
nas fórmulas, ficamos com:
Agora, vamos eliminar
dessas equações para obter uma relação apenas entre
,
e
.
Passo 5
Observando as equações de
e
, podemos ver que:
E para
temos:
Substituindo
na equação de
:
Resposta
A equação em coordenadas cartesianas da superfície é:
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Considere a transformação linear
definida por
Verifique se
é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine
.
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
© definida por
.
©