Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superficie cuja equaçào em coordenadas esféricas é dada phi=pi / 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de geometria envolvendo coordenadas esféricas e cartesianas. A gente precisa transformar uma equação que está em coordenadas esféricas, especificamente phi = pi / 4, para uma equação em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender como converter entre esses dois sistemas de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como são as coordenadas esféricas: elas são definidas por três valores — rho, que é a distância do ponto até a origem; theta, que é o ângulo no plano xy a partir do eixo x; e phi, que é o ângulo de inclinação em relação ao eixo z. No nosso caso, a equação dada é phi = pi / 4, o que significa que todos os pontos da superfície estão a um ângulo de 45 graus em relação ao eixo z.

Passo 3

Agora, vamos lembrar das fórmulas de conversão de coordenadas esféricas para cartesianas:
x = rho sin phi cos theta
y = rho sin phi sin theta
z = rho cos phi
Como phi = pi / 4, temos sin phi = cos phi = raiz22.

Passo 4

Substituindo phi = pi / 4 nas fórmulas, ficamos com:
x = rho cdot raiz22 cos theta
y = rho cdot raiz22 sin theta
z = rho cdot raiz22
Agora, vamos eliminar rho dessas equações para obter uma relação apenas entre x, y e z.

Passo 5

Observando as equações de x e y, podemos ver que:
x^2 + y^2 = (rho cdot raiz22)^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = (rho cdot raiz22)^2 = rho^22
E para z temos:
z = rho cdot raiz22 Rightarrow rho = z cdot 2raiz2 = z raiz2
Substituindo rho^2 na equação de x^2 + y^2:
x^2 + y^2 = (z raiz2)^22 = 2z^22 = z^2

Resposta

A equação em coordenadas cartesianas da superfície é:
x^2 + y^2 = z^2

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