Sejam T: R^3 R^2 e S: R^2 R^2 transformações lineares definidas por
T(x, y, z)=(2 x, y+z) e S(x, y)=(y, x)
Determine (S circ T)(x, y, z).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas transformações lineares:
  1. definida por .
  2. definida por .
Queremos determinar a composição dessas duas transformações, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como funcionam as transformações lineares e como compor duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T(x, y, z) = (2x, y + z) ao vetor . A transformação linear pega um vetor em e o transforma em um vetor em usando a regra dada:
Então, ao aplicar no vetor , obtemos um novo vetor .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação S(a, b) = (b, a) no resultado obtido de S(2x, y + z) = (y + z, 2x) , que foi . A transformação linear troca as coordenadas do vetor, ou seja:
Aplicando a , temos:

Resposta

A composição das transformações (S circ T)(x, y, z) = (y + z, 2x) e é:

Exercícios relacionados

Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
© T: P2 P2 definida por T(p(t))=p^prime prime(t) t^2.
Considere a transformação linear T: R^3 R^3 definida por
T(x, y, z)=(x+2 y+3 z, y+2 z, z)
Verifique se T é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine T^-1(x, y, z).
Se u=v, então u / / v.
Considere a transformação linear T: R^3 P2 definida por
T(x, y, z)=(x+y+z)+(2 z-x) t+(x-z) t^2
Verifique se T é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine T^-1(x+y t+z t^2).