Sejam T: R^3 R^2 e S: R^2 R^2 transformações lineares definidas por
T(x, y, z)=(2 x, y+z) e S(x, y)=(y, x)
Determine (S circ T)(x, y, z).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas transformações lineares:
  1. definida por .
  2. definida por .
Queremos determinar a composição dessas duas transformações, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como funcionam as transformações lineares e como compor duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T(x, y, z) = (2x, y + z) ao vetor . A transformação linear pega um vetor em e o transforma em um vetor em usando a regra dada:
Então, ao aplicar no vetor , obtemos um novo vetor .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação S(a, b) = (b, a) no resultado obtido de S(2x, y + z) = (y + z, 2x) , que foi . A transformação linear troca as coordenadas do vetor, ou seja:
Aplicando a , temos:

Resposta

A composição das transformações (S circ T)(x, y, z) = (y + z, 2x) e é:

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