Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada z^2 sen theta=r^3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada por . Vamos precisar entender a relação entre coordenadas cilíndricas e cartesianas para fazer a conversão.

Passo 2

Primeiro, lembremos que nas coordenadas cilíndricas, temos as seguintes relações com as coordenadas cartesianas:
x = r cos theta y = r sin theta z = z
Isso significa que podemos expressar e em termos de e .

Passo 3

Sabemos que sin theta = yr = yraizx^2 + y^2 . Também, o ângulo pode ser encontrado usando a função seno:
Essas expressões nos ajudarão a substituir e na equação original.

Passo 4

Vamos substituir z^2 ( yraizx^2 + y^2 ) = ( raizx^2 + y^2 )^3 e z^2 ( yraizx^2 + y^2 ) = (x^2 + y^2)^32 na equação cilíndrica :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por z^2 y = (x^2 + y^2)^32 times raizx^2 + y^2 = (x^2 + y^2)^2 para eliminar o denominador:
z^2 y = (x^2 + y^2)^2
Portanto, a equação em coordenadas cartesianas fica:

Resposta

A equação em coordenadas cartesianas da superfície é .

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