Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada z^2 sen theta=r^3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada por . Vamos precisar entender a relação entre coordenadas cilíndricas e cartesianas para fazer a conversão.

Passo 2

Primeiro, lembremos que nas coordenadas cilíndricas, temos as seguintes relações com as coordenadas cartesianas:
x = r cos theta y = r sin theta z = z
Isso significa que podemos expressar e em termos de e .

Passo 3

Sabemos que sin theta = yr = yraizx^2 + y^2 . Também, o ângulo pode ser encontrado usando a função seno:
Essas expressões nos ajudarão a substituir e na equação original.

Passo 4

Vamos substituir z^2 ( yraizx^2 + y^2 ) = ( raizx^2 + y^2 )^3 e z^2 ( yraizx^2 + y^2 ) = (x^2 + y^2)^32 na equação cilíndrica :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por z^2 y = (x^2 + y^2)^32 times raizx^2 + y^2 = (x^2 + y^2)^2 para eliminar o denominador:
z^2 y = (x^2 + y^2)^2
Portanto, a equação em coordenadas cartesianas fica:

Resposta

A equação em coordenadas cartesianas da superfície é .

Exercícios relacionados

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superficie cuja equaçào em coordenadas esféricas é dada r=9 sec phi
Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada x^2+y^2=z^2
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superficie cuja equaçào em coordenadas esféricas é dada phi=pi / 4
Considere a transformação linear T: R^3 R^3 definida por
T(x, y, z)=(x+2 y+3 z, y+2 z, z)
Verifique se T é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine T^-1(x, y, z).