Considere a transformação linear T: R^3 R^2 definida por
T(x, y, z)=(x+y, y+dotz)
Determine uma base e a dimensāo de Ker(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T(x, y, z) = (x + y, y + z) definida por
O que precisamos fazer é encontrar uma base e a dimensão do núcleo de ( ). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de Ker(T) = (x, y, z) in R^3 mid T(x, y, z) = (0, 0) , ou , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Em outras palavras,

Passo 3

Vamos igualar a transformação T(x, y, z) = (x + y, y + z) = (0, 0) ao vetor zero:
x + y = 0 y + z = 0
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre x = -y , z = -y e x = -t y = t z = -t .
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, podemos expressar e em termos de . Vamos deixar como parâmetro livre, ou seja, , onde é um número real.
Assim, temos:

Passo 5

Vamos colocar essas expressões em forma vetorial:
(x, y, z) = (-t, t, -t) = t cdot (-1, 1, -1)
Isso mostra que todo vetor no núcleo é múltiplo escalar do vetor , (-1, 1, -1) , .
Portanto, a base do núcleo de é o conjunto formado por esse único vetor:

Passo 6

Finalmente, a dimensão do núcleo é o número de vetores na base. Como temos apenas um vetor na base, a dimensão de é 1.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 1.

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