Considere a transformação linear definida por
Determine uma base e a dimensāo de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por
O que precisamos fazer é encontrar uma base e a dimensão do núcleo de ( ). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , ou , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Em outras palavras,

Passo 3

Vamos igualar a transformação ao vetor zero:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre , e .
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, podemos expressar e em termos de . Vamos deixar como parâmetro livre, ou seja, , onde é um número real.
Assim, temos:

Passo 5

Vamos colocar essas expressões em forma vetorial:
Isso mostra que todo vetor no núcleo é múltiplo escalar do vetor .
Portanto, a base do núcleo de é o conjunto formado por esse único vetor:

Passo 6

Finalmente, a dimensão do núcleo é o número de vetores na base. Como temos apenas um vetor na base, a dimensão de é 1.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 1.

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Sabendo que e que e formam ângulo de rad, determinar
a)
b)
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a)
b)
c)
d)
e)
Determine um ponto do eixo das abscissas, equidistante de e . R.:
Determine os pontos que dividem o segmento , em que e , em cinco partes de mesma medida.