Considere a transformação linear
definida por
Determine uma base e a dimensāo de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
definida por
O que precisamos fazer é encontrar uma base e a dimensão do núcleo de
(
). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
, ou
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Em outras palavras,
Passo 3
Vamos igualar a transformação
ao vetor zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre
,
e
.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, podemos expressar
e
em termos de
. Vamos deixar
como parâmetro livre, ou seja,
, onde
é um número real.
Assim, temos:
Passo 5
Vamos colocar essas expressões em forma vetorial:
Isso mostra que todo vetor no núcleo é múltiplo escalar do vetor
.
Portanto, a base do núcleo de
é o conjunto formado por esse único vetor:
Passo 6
Finalmente, a dimensão do núcleo é o número de vetores na base. Como temos apenas um vetor na base, a dimensão de
é 1.
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é 1.
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Sabendo que
e que
e
formam ângulo de
rad, determinar
a)
b)
a)
b)
Dadas as bases
e
, e as relações
quais as coordenadas do vetor
na base
?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Determine um ponto do eixo das abscissas, equidistante de
e
. R.:
Determine os pontos que dividem o segmento
, em que
e
, em cinco partes de mesma medida.