Dadas as bases E=e1, e2, e3 e F=f1, f2, f3 em V^3, e as relações
f1=e1-2 e2-3 e3, f2=e1+2 e2+e3, f3=5 e1+e2-4 e3
quais as coordenadas do vetor v=(2,1,2)F na base E ?
a) (13,0,13)
b) (13,0,-13)
c) (-13,0,-13)
d) (13,1,-13)
e) (-13,0,13)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! A gente tem duas bases, E e F, em um espaço vetorial de 3 dimensões. O vetor v está dado nas coordenadas da base F, e a pergunta é: quais são as coordenadas desse mesmo vetor na base E? Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o vetor v em termos da base F. Como v = (2,1,2)F, isso significa que:
v = 2f1 + 1f2 + 2f3

Passo 3

Agora, precisamos substituir cada fi pela sua expressão em termos da base E. As relações dadas são:
f1 = e1 - 2e2 - 3e3
f2 = e1 + 2e2 + e3
f3 = 5e1 + e2 - 4e3
Substituindo essas na expressão de v:
v = 2(e1 - 2e2 - 3e3) + 1(e1 + 2e2 + e3) + 2(5e1 + e2 - 4e3)

Passo 4

Vamos distribuir os multiplicadores:
v = 2e1 - 4e2 - 6e3 + e1 + 2e2 + e3 + 10e1 + 2e2 - 8e3
Agora, vamos somar os coeficientes de cada vetor da base E:
  • Para e1:
    2 + 1 + 10 = 13
  • Para e2:
    -4 + 2 + 2 = 0
  • Para e3:
    -6 + 1 - 8 = -13

Passo 5

Com isso, a expressão final do vetor v na base E fica:
v = 13e1 + 0e2 - 13e3
Ou seja, as coordenadas de v na base E são (13, 0, -13).

Resposta

A coordenada do vetor v na base E é (13,,0,,-13), opção b).

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