Sabendo que |u|=raiz2,|v|=3 e que u e v formam ângulo de 3 pi4 rad, determinar
a) |(2 u-v) cdot(u-2 v)|
b) |u-2 v|

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois vetores, u e v, com magnitudes |u| = raiz2 e |v| = 3. Eles formam um ângulo de 3pi4 radianos entre si. Precisamos resolver duas partes:
a) Calcular o valor absoluto do produto escalar (2u - v) cdot (u - 2v).
b) Calcular a magnitude do vetor u - 2v.
Para resolver isso, vamos usar propriedades de vetores, especialmente do produto escalar.

Passo 2

Vamos começar pela parte a). Queremos encontrar:
|(2u - v) cdot (u - 2v)|
Primeiro, vamos expandir o produto escalar usando a distributiva:
(2u - v) cdot (u - 2v) = 2u cdot u - 4u cdot v - v cdot u + 2v cdot v
Lembrando que o produto escalar é comutativo, ou seja, u cdot v = v cdot u.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão:
2u cdot u - 4u cdot v - v cdot u + 2v cdot v = 2|u|^2 - 5u cdot v + 2|v|^2
Aqui, usamos que -4u cdot v - v cdot u = -5u cdot v.

Passo 4

Agora, substituímos os valores conhecidos:
  • |u| = raiz2, então |u|^2 = 2.
  • |v| = 3, então |v|^2 = 9.
  • O ângulo entre u e v é 3pi4 radianos.
Primeiro, precisamos calcular u cdot v. Sabemos que:
u cdot v = |u| |v| cos(theta)
onde theta é o ângulo entre eles.

Passo 5

Calculando u cdot v:
u cdot v = raiz2 times 3 times cos(3pi4)
Sabemos que cos(3pi4) = -raiz22.
Então,
u cdot v = raiz2 times 3 times (-raiz22) = 3 times (-22) = -3

Passo 6

Agora, substituímos todos os valores na expressão:
2|u|^2 - 5u cdot v + 2|v|^2 = 2 times 2 - 5 times (-3) + 2 times 9 = 4 + 15 + 18 = 37
Portanto,
|(2u - v) cdot (u - 2v)| = |37| = 37

Passo 7

Agora, vamos para a parte b). Precisamos encontrar a magnitude de u - 2v, ou seja:
|u - 2v|
Para isso, usamos a fórmula da magnitude de um vetor resultante:
|a - b| = raiz|a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|cos(theta)
onde theta é o ângulo entre a e b.

Passo 8

Aplicando isso para u - 2v:
|u - 2v| = raiz|u|^2 + |2v|^2 - 2|u||2v|cos(theta)
Sabemos que |2v| = 2|v| = 6 e theta = 3pi4.

Passo 9

Substituindo os valores:
|u - 2v| = raiz (raiz2)^2 + 6^2 - 2 times raiz2 times 6 times cos(3pi4) = raiz 2 + 36 - 12raiz2 times (-raiz22)
Simplificando:
= raiz38 + 12 = raiz50 = 5raiz2

Resposta

b) A magnitude de u - 2v é 5raiz2.

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