Provar que a equação: representa uma superfície cilíndrica , calculando os parâmetros diretores da geratriz e a equação da diretriz mais simples. Em seguida, dê uma terna de equações paramétricas .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que a equação representa uma superfície cilíndrica, chamada . Para isso, vamos precisar entender o que é uma superfície cilíndrica na geometria, identificar os parâmetros diretores da geratriz (a “linha” que gera o cilindro) e encontrar a equação da diretriz mais simples. No final, vamos montar uma terna de equações paramétricas para descrever .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície cilíndrica. Uma superfície é cilíndrica se pode ser gerada movendo uma curva (chamada de diretriz) ao longo de uma linha reta (chamada de geratriz) sem que a diretriz se incline em relação à geratriz. Matemáticamente, isso significa que a equação da superfície não depende de uma das coordenadas de forma que a variável correspondente à geratriz não aparece ou aparece de maneira linear.
No nosso caso, a equação envolve as três variáveis , e , mas vamos tentar isolar uma delas para verificar se conseguimos expressar a equação de forma que ela dependa apenas das outras duas, caracterizando assim uma superfície cilíndrica.
Passo 3
Vamos tentar isolar o na equação:
Vamos agrupar os termos que envolvem :
Então, podemos reescrever a equação como:
Agora, isolando :
Simplificando os sinais:
Passo 4
Observando a expressão de , vemos que ela está expressa em termos de e . Isso indica que, para cada par , existe um único valor de . Porém, isso não caracteriza diretamente uma superfície cilíndrica. Precisamos investigar mais a fundo.
Vamos analisar a equação original para ver se conseguimos fatorar ou simplificar de alguma forma que evidencie a estrutura cilíndrica.
Passo 5
Vamos tentar organizar os termos da equação original:
Podemos agrupar os termos de e que não envolvem e os que envolvem :
Agora, observamos que os termos sem poderiam representar algum tipo de curva, enquanto os termos com mostram uma relação que pode indicar a presença de uma direção particular, sugerindo a estrutura de um cilindro.
Passo 6
Para provar que é uma superfície cilíndrica, precisamos mostrar que a equação pode ser decomposta de forma a separar uma das variáveis, indicando que a superfície é gerada por uma reta (geratriz) movendo-se ao longo de uma curva fixa (diretriz).
Vamos tentar expressar a equação de maneira que uma das variáveis, digamos , seja livre, indicando que a superfície se estende indefinidamente nessa direção.
Rearranjando a equação:
Podemos reorganizar termos agrupando por :
Isso mostra que pode ser expresso em função de e , reforçando que a superfície é cilíndrica com a direção ao longo do eixo .
Passo 7
Agora, identificamos que a direção da geratriz é ao longo do eixo , já que pode variar livremente para cada . Portanto, os parâmetros diretores da geratriz são , indicando que a geratriz é paralela ao eixo .
A diretriz mais simples pode ser obtida fixando , o que simplifica a equação para:
Esta é a equação da curva que, movida ao longo da direção dada por , gera a superfície cilíndrica .
Passo 8
Por fim, vamos montar uma terna de equações paramétricas para a superfície cilíndrica . Sabemos que a geratriz é paralela ao eixo , então podemos parametrizar como um parâmetro livre, digamos , e expressar e em termos de um parâmetro, digamos , de acordo com a diretriz.
Assim, as equações paramétricas são:
Onde e satisfazem a equação da diretriz .
Resposta
A superfície é cilíndrica com direção ao eixo , os parâmetros diretores da geratriz são e a diretriz mais simples é dada pela equação . As equações paramétricas da superfície cilíndrica são:
Onde e s��o parâmetros, sendo que define a diretriz e que movimenta a geratriz ao longo do eixo .