Provar que a equação: x^3-44 z^3-15 x^2 z+48 x z^2-3 y x^2-12 y z^2+12 x y z+1=0 representa uma superfície cilíndrica C, calculando os parâmetros diretores da geratriz e a equação da diretriz mais simples. Em seguida, dê uma terna de equações paramétricas C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que a equação representa uma superfície cilíndrica, chamada . Para isso, vamos precisar entender o que é uma superfície cilíndrica na geometria, identificar os parâmetros diretores da geratriz (a “linha” que gera o cilindro) e encontrar a equação da diretriz mais simples. No final, vamos montar uma terna de equações paramétricas para descrever .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície cilíndrica. Uma superfície é cilíndrica se pode ser gerada movendo uma curva (chamada de diretriz) ao longo de uma linha reta (chamada de geratriz) sem que a diretriz se incline em relação à geratriz. Matemáticamente, isso significa que a equação da superfície não depende de uma das coordenadas de forma que a variável correspondente à geratriz não aparece ou aparece de maneira linear.
No nosso caso, a equação envolve as três variáveis , e , mas vamos tentar isolar uma delas para verificar se conseguimos expressar a equação de forma que ela dependa apenas das outras duas, caracterizando assim uma superfície cilíndrica.

Passo 3

Vamos tentar isolar o x^3 - 44 z^3 - 15 x^2 z + 48 x z^2 - 3 y x^2 - 12 y z^2 + 12 x y z + 1 = 0 na equação:
-3 y x^2 - 12 y z^2 + 12 x y z = y(-3x^2 -12 z^2 + 12 x z)
Vamos agrupar os termos que envolvem y(-3x^2 -12 z^2 + 12 x z) = -x^3 + 44 z^3 + 15 x^2 z - 48 x z^2 - 1:
y = -x^3 + 44 z^3 + 15 x^2 z - 48 x z^2 - 1-3x^2 -12 z^2 + 12 x z
Então, podemos reescrever a equação como:
y = x^3 - 44 z^3 -15 x^2 z +48 x z^2 +13x^2 +12 z^2 -12 x z
Agora, isolando :
Simplificando os sinais:

Passo 4

Observando a expressão de , vemos que ela está expressa em termos de e . Isso indica que, para cada par , existe um único valor de . Porém, isso não caracteriza diretamente uma superfície cilíndrica. Precisamos investigar mais a fundo.
Vamos analisar a equação original para ver se conseguimos fatorar ou simplificar de alguma forma que evidencie a estrutura cilíndrica.

Passo 5

Vamos tentar organizar os termos da equação original:
x^3 - 44 z^3 - 15 x^2 z + 48 x z^2 - 3 y x^2 - 12 y z^2 + 12 x y z + 1 = 0
Podemos agrupar os termos de (x^3 - 44 z^3 -15 x^2 z +48 x z^2 +1) + y(-3x^2 -12 z^2 +12 x z) = 0 e que não envolvem e os que envolvem :
Agora, observamos que os termos sem poderiam representar algum tipo de curva, enquanto os termos com mostram uma relação que pode indicar a presença de uma direção particular, sugerindo a estrutura de um cilindro.

Passo 6

Para provar que é uma superfície cilíndrica, precisamos mostrar que a equação pode ser decomposta de forma a separar uma das variáveis, indicando que a superfície é gerada por uma reta (geratriz) movendo-se ao longo de uma curva fixa (diretriz).
Vamos tentar expressar a equação de maneira que uma das variáveis, digamos -3x^2 y -12 z^2 y +12 x z y + x^3 -44 z^3 -15 x^2 z +48 x z^2 +1 = 0 , seja livre, indicando que a superfície se estende indefinidamente nessa direção.
Rearranjando a equação:
y(-3x^2 -12 z^2 +12 x z) = -x^3 +44 z^3 +15 x^2 z -48 x z^2 -1
Podemos reorganizar termos agrupando por :
Isso mostra que pode ser expresso em função de e , reforçando que a superfície é cilíndrica com a direção ao longo do eixo .

Passo 7

Agora, identificamos que a direção da geratriz é ao longo do eixo x^3 -44 z^3 -15 x^2 z +48 x z^2 +1 = 0 , já que pode variar livremente para cada . Portanto, os parâmetros diretores da geratriz são , indicando que a geratriz é paralela ao eixo .
A diretriz mais simples pode ser obtida fixando , o que simplifica a equação para:
Esta é a equação da curva que, movida ao longo da direção dada por , gera a superfície cilíndrica .

Passo 8

Por fim, vamos montar uma terna de equações paramétricas para a superfície cilíndrica x = x(s) y = t z = z(s) . Sabemos que a geratriz é paralela ao eixo , então podemos parametrizar como um parâmetro livre, digamos , e expressar e em termos de um parâmetro, digamos , de acordo com a diretriz.
Assim, as equações paramétricas são:
Onde e satisfazem a equação da diretriz .

Resposta

A superfície x = x(s) y = t z = z(s) é cilíndrica com direção ao eixo , os parâmetros diretores da geratriz são e a diretriz mais simples é dada pela equação . As equações paramétricas da superfície cilíndrica são:
Onde e s��o parâmetros, sendo que define a diretriz e que movimenta a geratriz ao longo do eixo .

Exercícios relacionados