Considere a transformação linear T: R^3 R^3 descrita por:
T(x, y, z)=(z, x-y,-z)
(i) Determine [T]C^C, onde C é a base canônica de R^3;
(ii) Determine uma base do núcleo de T;
(iii) Determine a dimensão da imagem de T;
(iv) T é sobrejetiva?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares! A gente tem uma transformação definida por . Vamos precisar usar conceitos de matrizes, base canônica, núcleo, imagem e sobrejetividade. Bora passo a passo!

Passo 2

(i) Determinar a matriz [T]C^C = 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 0 & -1 , onde é a base canônica de .
Primeiro, a base canônica de é formada pelos vetores , e . Para encontrar a matriz de nessa base, aplicamos em cada vetor da base e colocamos os resultados como colunas da matriz.
Vamos lá:
Agora, montamos a matriz colocando esses vetores como colunas:

Passo 3

(ii) Determinar uma base do núcleo de z = 0 x - y = 0 -z = 0 .
O núcleo de é o conjunto de todos os vetores tais que . Vamos resolver .
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira e terceira equação, temos . Da segunda, .
Então, os vetores no núcleo têm a forma , onde é um número real.
Podemos escrever isso como . Portanto, uma base para o núcleo de é .

Passo 4

(iii) Determinar a dimensão da imagem de dim(Núc<=o(T)) + dim(Ima>=m(T)) = dim(R^3) = 3 .
A dimensão da imagem de 1 + dim(Ima>=m(T)) = 3 implies dim(Ima>=m(T)) = 2 é chamada de posto de . Pela Teorema da Dimensão, temos:
ú
Já encontramos que o núcleo de é gerado por um vetor, então ú.
Aplicando o teorema:

Passo 5

(iv) é sobrejetiva?
Uma transformação linear é sobrejetiva se sua imagem for todo o espaço de chegada, ou seja, se .
Já vimos que , que é menor que 3. Portanto, não é sobrejetiva.

Resposta

(i) 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 0 & -1
(ii) Uma base do núcleo de é
(iii) A dimensão da imagem de é 2
(iv) não é sobrejetiva

Exercícios relacionados