(i) Determine , onde é a base canônica de ;
(ii) Determine uma base do núcleo de ;
(iii) Determine a dimensão da imagem de ;
(iv) é sobrejetiva?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares! A gente tem uma transformação definida por . Vamos precisar usar conceitos de matrizes, base canônica, núcleo, imagem e sobrejetividade. Bora passo a passo!
Passo 2
(i) Determinar a matriz , onde é a base canônica de .
Primeiro, a base canônica de é formada pelos vetores , e . Para encontrar a matriz de nessa base, aplicamos em cada vetor da base e colocamos os resultados como colunas da matriz.
Vamos lá:
Agora, montamos a matriz colocando esses vetores como colunas:
Passo 3
(ii) Determinar uma base do núcleo de z = 0 x - y = 0 -z = 0 .
O núcleo de é o conjunto de todos os vetores tais que . Vamos resolver .
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira e terceira equação, temos . Da segunda, .
Então, os vetores no núcleo têm a forma , onde é um número real.
Podemos escrever isso como . Portanto, uma base para o núcleo de é .
Passo 4
(iii) Determinar a dimensão da imagem de dim(Núc<=o(T)) + dim(Ima>=m(T)) = dim(R^3) = 3 .
A dimensão da imagem de 1 + dim(Ima>=m(T)) = 3 implies dim(Ima>=m(T)) = 2 é chamada de posto de . Pela Teorema da Dimensão, temos:
ú
Já encontramos que o núcleo de é gerado por um vetor, então ú.
Aplicando o teorema:
Passo 5
(iv) é sobrejetiva?
Uma transformação linear é sobrejetiva se sua imagem for todo o espaço de chegada, ou seja, se .
Já vimos que , que é menor que 3. Portanto, não é sobrejetiva.