Considere a transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 dada por
T(x, y, z)=(x+2 y+2 z, x+2 y-z,-x+y+4 z)
a) Determine u in R^3 tal que T(u)=(5,2,7)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear! A gente precisa encontrar um vetor em que, quando aplicamos a transformação , resulta no vetor . Para isso, vamos precisar entender como funciona uma transformação linear e resolver um sistema de equações para achar as componentes de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a transformação linear T(x, y, z) = (x + 2y + 2z, x + 2y - z, -x + y + 4z) com as componentes de x + 2y + 2z = 5 x + 2y - z = 2 -x + y + 4z = 7 . A transformação é dada por:
Queremos que isso seja igual a . Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos simplificar subtraindo a segunda equação da primeira:
(x + 2y + 2z) - (x + 2y - z) = 5 - 2 implies 3z = 3 implies z = 1
Agora que sabemos que x + 2y = 3 (Equação 4) , substituímos esse valor na segunda equação para encontrar :
çã

Passo 4

Em seguida, substituímos - x + y + 4(1) = 7 implies -x + y = 3 (Equação 5) na terceira equação:
x + 2y = 3 (Equação 4) - x + y = 3 (Equação 5) çã
Agora temos um sistema com duas equações:
çãçã

Passo 5

Vamos somar a Equação 4 e a Equação 5 para eliminar (x + 2y) + (-x + y) = 3 + 3 implies 3y = 6 implies y = 2 :
x + 2(2) = 3 implies x + 4 = 3 implies x = -1
Agora que sabemos que , substituímos esse valor na Equação 4 para encontrar :

Resposta

O vetor u = (-1, 2, 1) que satisfaz é:

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