Beleza, vamos começar! O enunciado nos apresenta uma matriz dividida em blocos, chamada de matriz particionada. A gente precisa mostrar que o determinante dessa matriz é igual ao produto do determinante de pelo determinante de . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes particionadas e usar propriedades de determinantes e inversas de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz nos dá uma ideia sobre certas propriedades da matriz, como se ela é invertível. Para matrizes particionadas, que são divididas em blocos menores, temos algumas fórmulas que facilitam o cálculo do determinante sem precisar expandir toda a matriz.
Passo 3
Uma propriedade importante que vamos usar é a seguinte: se temos uma matriz A = A11 & A12 A21 & A22 , dividida em blocos como abaixo,
|A| = |A11| cdot |A22 - A21 A11^-1 A12|
e se for invertível (ou seja, existe), então o determinante de pode ser calculado como:
Essa fórmula nos permite calcular o determinante de matrizes grandes usando blocos menores, facilitando bastante o processo.
Passo 4
Vamos aplicar essa propriedade à nossa matriz . De acordo com a fórmula, precisamos calcular dois determinantes:
: O determinante do bloco .
: O determinante de uma nova matriz formada subtraindo de .
Multiplicando esses dois valores, teremos o determinante total de .
Passo 5
Então, colocando tudo junto, temos:
|A| = |A11| cdot |A22 - A21 A11^-1 A12|
Isso mostra exatamente o que o enunciado pediu: a relação entre o determinante da matriz original e os determinantes dos blocos e .
Resposta
Portanto, mostramos que o determinante da matriz particionada |A| = |A11| cdot |A22 - A21 A11^-1 A12| é igual ao produto de por , ou seja,