Seja um espaço com produto interno. Mostre que se e forem vetores unitários ortogonais em , então .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial com produto interno, e dois vetores e que são unitários (ou seja, têm norma igual a 1) e ortogonais (o produto interno entre eles é zero). Precisamos mostrar que a norma da diferença desses vetores, , é igual a . Para resolver isso, vamos usar propriedades do produto interno e das normas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor é definida como , onde representa o produto interno. No nosso caso, queremos encontrar .

Passo 3

Vamos calcular para facilitar os cálculos:
Usando a propriedade distributiva do produto interno, temos:

Passo 4

Sabemos que e são unitários, então e . Além disso, como eles são ortogonais, . Substituindo esses valores na equação:

Resposta

Portanto, .

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Dada a matriz particionada:
Mostre que
Considere a transformação linear dada por
a) Determine tal que
Prove as seguintes propriedades:
(a)
Considere a transformação linear dada por
b) Determine tal que