Seja
um espaço com produto interno. Mostre que se
e
forem vetores unitários ortogonais em
, então
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial
com produto interno, e dois vetores
e
que são unitários (ou seja, têm norma igual a 1) e ortogonais (o produto interno entre eles é zero). Precisamos mostrar que a norma da diferença desses vetores,
, é igual a
. Para resolver isso, vamos usar propriedades do produto interno e das normas dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
é definida como
, onde
representa o produto interno. No nosso caso, queremos encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular
para facilitar os cálculos:
Usando a propriedade distributiva do produto interno, temos:
Passo 4
Sabemos que
e
são unitários, então
e
. Além disso, como eles são ortogonais,
. Substituindo esses valores na equação:
Resposta
Portanto,
.