Seja um espaço com produto interno. Mostre que se e forem vetores unitários ortogonais em , então .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial com produto interno, e dois vetores e que são unitários (ou seja, têm norma igual a 1) e ortogonais (o produto interno entre eles é zero). Precisamos mostrar que a norma da diferença desses vetores, , é igual a . Para resolver isso, vamos usar propriedades do produto interno e das normas dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor é definida como , onde representa o produto interno. No nosso caso, queremos encontrar .
Passo 3
Vamos calcular para facilitar os cálculos:
Usando a propriedade distributiva do produto interno, temos:
Passo 4
Sabemos que e são unitários, então e . Além disso, como eles são ortogonais, . Substituindo esses valores na equação: