Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se u e v forem vetores unitários ortogonais em V, então |u-v|=raiz2.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial com produto interno, e dois vetores e que são unitários (ou seja, têm norma igual a 1) e ortogonais (o produto interno entre eles é zero). Precisamos mostrar que a norma da diferença desses vetores, , é igual a . Para resolver isso, vamos usar propriedades do produto interno e das normas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor é definida como , onde representa o produto interno. No nosso caso, queremos encontrar .

Passo 3

Vamos calcular |u - v|^2 = lang<= u - v, u - v rang<= para facilitar os cálculos:
|u - v|^2 = lang<= u, u rang<= - lang<= u, v rang<= - lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<=
Usando a propriedade distributiva do produto interno, temos:

Passo 4

Sabemos que |u - v|^2 = 1 - 0 - 0 + 1 = 2 e são unitários, então e . Além disso, como eles são ortogonais, . Substituindo esses valores na equação:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados