Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar um vetor em que, ao aplicarmos a transformação linear nele, o resultado seja o próprio vetor . Ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a transformação linear de forma explícita:
Queremos encontrar tal que:
Passo 3
Vamos igualar cada componente de com as componentes de :
Passo 4
Agora, vamos simplificar cada equação:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituindo :
Da terceira equação:
Substituindo e :
Essa equação confirma que nossas soluções anteriores estão corretas.
Passo 5
Agora, temos:
Isso significa que pode ser qualquer número real. Então, podemos expressar o vetor como: