Considere a transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 dada por
T(x, y, z)=(x+2 y+2 z, x+2 y-z,-x+y+4 z)
b) Determine v in R^3 tal que T(v)=v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar um vetor em que, ao aplicarmos a transformação linear nele, o resultado seja o próprio vetor . Ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a transformação linear T(x, y, z) = (x + 2y + 2z, ; x + 2y - z, ; -x + y + 4z) de forma explícita:
T(v) = v
Queremos encontrar tal que:

Passo 3

Vamos igualar cada componente de x + 2y + 2z = x x + 2y - z = y - x + y + 4z = z com as componentes de :

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada equação:
  1. Da primeira equação:
x + 2y + 2z = x implies 2y + 2z = 0 implies y = -z
  1. Da segunda equação:
x + 2y - z = y implies x + y - z = 0
Substituindo x - z - z = x - 2z = 0 implies x = 2z :
- x + y + 4z = z implies -x + y + 3z = 0
  1. Da terceira equação:
-2z - z + 3z = 0 implies 0 = 0
Substituindo e :
Essa equação confirma que nossas soluções anteriores estão corretas.

Passo 5

Agora, temos:
x = 2z y = -z z = z
Isso significa que v = (2z, -z, z) = z cdot (2, -1, 1) pode ser qualquer número real. Então, podemos expressar o vetor como:

Resposta

Um vetor que satisfaz é .

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