Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar um vetor em que, ao aplicarmos a transformação linear nele, o resultado seja o próprio vetor . Ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a transformação linear de forma explícita:
Queremos encontrar tal que:
Passo 3
Vamos igualar cada componente de com as componentes de :
Passo 4
Agora, vamos simplificar cada equação:
Da primeira equação:
x + 2y + 2z = x implies 2y + 2z = 0 implies y = -z
Da segunda equação:
x + 2y - z = y implies x + y - z = 0
Substituindo x - z - z = x - 2z = 0 implies x = 2z :
- x + y + 4z = z implies -x + y + 3z = 0
Da terceira equação:
-2z - z + 3z = 0 implies 0 = 0
Substituindo e :
Essa equação confirma que nossas soluções anteriores estão corretas.
Passo 5
Agora, temos:
x = 2z y = -z z = z
Isso significa que v = (2z, -z, z) = z cdot (2, -1, 1) pode ser qualquer número real. Então, podemos expressar o vetor como: