Considere a transformação linear dada por
b) Determine tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar um vetor em que, ao aplicarmos a transformação linear nele, o resultado seja o próprio vetor . Ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a transformação linear de forma explícita:
Queremos encontrar tal que:

Passo 3

Vamos igualar cada componente de com as componentes de :

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada equação:
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:
Substituindo :
  1. Da terceira equação:
Substituindo e :
Essa equação confirma que nossas soluções anteriores estão corretas.

Passo 5

Agora, temos:
Isso significa que pode ser qualquer número real. Então, podemos expressar o vetor como:

Resposta

Um vetor que satisfaz é .

Exercícios relacionados

Prove as seguintes propriedades:
(a)
Seja um espaço com produto interno. Mostre que se e forem vetores unitários ortogonais em , então .
Descreva o subespaço em cada item:
Seja o eixo num sistema de coordenadas de .
Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo: dada por