Descreva o subespaço
em cada item:
Seja
o eixo
num sistema de coordenadas
de
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descrever o subespaço
onde
é o eixo
num sistema de coordenadas
em
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente de subespaços e complementos ortogonais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um subespaço ser ortogonal a outro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o eixo
em
. O eixo
é o conjunto de todos os vetores que têm a forma
, onde
pode ser qualquer número real. Então,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a todos os vetores em
. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Passo 4
Vamos considerar um vetor genérico
em
. Para que
seja ortogonal a todos os vetores em
, deve satisfazer:
Calculando o produto escalar:
Como isso deve valer para todo
, a única possibilidade é que
.
Passo 5
Então, qualquer vetor
faz parte de
. Isso significa que
consiste em todos os vetores em
onde a componente
é zero, ou seja, no plano
.
Resposta
O subespaço
é o plano
em
, composto por todos os vetores da forma
.
Exercícios relacionados
Considere a transformação linear
dada por
b) Determine
tal que
Prove as seguintes propriedades:
(a)
(a)
Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se for ortogonal a cada vetor de algum subespaço
, então
.
Se