Descreva o subespaço W^perp em cada item:
Seja W o eixo y num sistema de coordenadas x y z de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descrever o subespaço onde é o eixo num sistema de coordenadas em . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente de subespaços e complementos ortogonais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um subespaço ser ortogonal a outro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o eixo em . O eixo é o conjunto de todos os vetores que têm a forma , onde pode ser qualquer número real. Então, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 , que é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de dois vetores e é dado por:

Passo 4

Vamos considerar um vetor genérico v cdot (0, y, 0) = 0 para todo y in R em 0 cdot a + y cdot b + 0 cdot c = yb = 0 . Para que seja ortogonal a todos os vetores em , deve satisfazer:
Calculando o produto escalar:
Como isso deve valer para todo , a única possibilidade é que .

Passo 5

Então, qualquer vetor faz parte de . Isso significa que consiste em todos os vetores em onde a componente é zero, ou seja, no plano .

Resposta

O subespaço é o plano em , composto por todos os vetores da forma .

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