Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o núcleo e a imagem da transformação linear
definida por
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a transformações lineares, como núcleo e imagem, e resolver sistemas de equações para encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja, precisamos resolver a equação:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre
,
e
.
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 4
Agora, podemos expressar as variáveis
e
em função de
. Assim, todo vetor no núcleo de
pode ser escrito como:
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor
.
Passo 5
Então, o núcleo de
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de
. A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a vetores em
. Para isso, vamos analisar as componentes de
.
Podemos reescrever a transformação em termos de combinação linear das variáveis:
Passo 7
Assim, os vetores geradores da imagem são
e
. Para determinar se esses vetores são linearmente independentes, verificamos se existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero:
Isso leva ao sistema:
Da segunda equação,
, e substituindo na primeira,
. Como a única solução é trivial, os vetores são linearmente independentes.
Passo 8
Portanto, a imagem de
é o espaço gerado pelos vetores
e
. Ou seja,
Resposta
O núcleo de
é o conjunto de todos os vetores da forma
, onde
. A imagem de
é o espaço gerado pelos vetores
e
.
Exercícios relacionados
Descreva o subespaço
em cada item:
Seja o eixo
num sistema de coordenadas
de
.
Seja
Considere a transformação linear
dada por
b) Determine
tal que
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se for ortogonal a cada vetor de algum subespaço
, então
.
Se
Seja:
(a) Verifique se A é inversível.