Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo: dada por

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a transformações lineares, como núcleo e imagem, e resolver sistemas de equações para encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, precisamos resolver a equação:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre , e .
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:

Passo 4

Agora, podemos expressar as variáveis e em função de . Assim, todo vetor no núcleo de pode ser escrito como:
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor .

Passo 5

Então, o núcleo de é:
ú

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a vetores em . Para isso, vamos analisar as componentes de .
Podemos reescrever a transformação em termos de combinação linear das variáveis:

Passo 7

Assim, os vetores geradores da imagem são e . Para determinar se esses vetores são linearmente independentes, verificamos se existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero:
Isso leva ao sistema:
Da segunda equação, , e substituindo na primeira, . Como a única solução é trivial, os vetores são linearmente independentes.

Passo 8

Portanto, a imagem de é o espaço gerado pelos vetores e . Ou seja,

Resposta

O núcleo de é o conjunto de todos os vetores da forma , onde . A imagem de é o espaço gerado pelos vetores e .

Exercícios relacionados

Descreva o subespaço em cada item:
Seja o eixo num sistema de coordenadas de .
Considere a transformação linear dada por
b) Determine tal que
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se for ortogonal a cada vetor de algum subespaço , então .
Seja:
(a) Verifique se A é inversível.