Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo: T: R^3 longrightarrow R^2 dada por T(x, y, z)=(2 y-z, x+2 z)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a transformações lineares, como núcleo e imagem, e resolver sistemas de equações para encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T(x, y, z) = (0, 0) . O núcleo é o conjunto de todos os vetores 2y - z = 0 x + 2z = 0 em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, precisamos resolver a equação:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre 2y - z = 0 implies z = 2y , x + 2(2y) = 0 implies x + 4y = 0 implies x = -4y e .
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:

Passo 4

Agora, podemos expressar as variáveis (x, y, z) = (-4y, y, 2y) = y cdot (-4, 1, 2) e em função de . Assim, todo vetor no núcleo de pode ser escrito como:
Isso significa que o núcleo é gerado pelo vetor .

Passo 5

Então, o núcleo de Núc<=o(T) = y cdot (-4, 1, 2) , | , y in R é:
ú

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de T(x, y, z) = x cdot (0, 1) + y cdot (2, 0) + z cdot (-1, 2) . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a vetores em . Para isso, vamos analisar as componentes de .
Podemos reescrever a transformação em termos de combinação linear das variáveis:

Passo 7

Assim, os vetores geradores da imagem são a cdot (2, 0) + b cdot (-1, 2) = (0, 0) e 2a - b = 0 0a + 2b = 0 . Para determinar se esses vetores são linearmente independentes, verificamos se existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero:
Isso leva ao sistema:
Da segunda equação, , e substituindo na primeira, . Como a única solução é trivial, os vetores são linearmente independentes.

Passo 8

Portanto, a imagem de Ima>=m(T) = Span, (2, 0), (-1, 2) , é o espaço gerado pelos vetores e . Ou seja,

Resposta

O núcleo de é o conjunto de todos os vetores da forma , onde . A imagem de é o espaço gerado pelos vetores e .

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