Considere a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2, definida por T(x, y)=(x-4 y, 2 x-7 y).
Determine T^-1(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão trata de transformações lineares, um tópico fundamental em álgebra linear. A gente tem uma transformação definida por . O que queremos é descobrir a transformação inversa . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a matriz inversa de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que representa a transformação A = 1 & -4 2 & -7 . Em álgebra linear, toda transformação linear pode ser associada a uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, realiza a transformação. No nosso caso, a matriz que representa é:
Aqui, os coeficientes de e nas expressões de formam as colunas da matriz.

Passo 3

Agora, para encontrar a transformação inversa det(A) = (1)(-7) - (-4)(2) = -7 + 8 = 1 , precisamos calcular a matriz inversa da matriz . Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Como , a matriz é invertível.

Passo 4

Para encontrar a matriz inversa A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a , usamos a fórmula para matrizes 2x2:
a & b c & d
Onde A^-1 = 11 -7 & 4 -2 & 1 = -7 & 4 -2 & 1 . Substituindo os valores da nossa matriz:

Passo 5

Agora que temos a matriz inversa T^-1(x, y) = A^-1 x y = -7 & 4 -2 & 1 x y , podemos expressar a transformação inversa T^-1(x, y) = (-7x + 4y, -2x + y) . Se representarmos como uma transformação linear, ela será dada por:
Multiplicando as matrizes, temos:

Resposta

A transformação inversa é .

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