Considere a transformação linear , definida por .
Determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão trata de transformações lineares, um tópico fundamental em álgebra linear. A gente tem uma transformação definida por . O que queremos é descobrir a transformação inversa . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a matriz inversa de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que representa a transformação . Em álgebra linear, toda transformação linear pode ser associada a uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, realiza a transformação. No nosso caso, a matriz que representa é:
Aqui, os coeficientes de e nas expressões de formam as colunas da matriz.

Passo 3

Agora, para encontrar a transformação inversa , precisamos calcular a matriz inversa da matriz . Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Como , a matriz é invertível.

Passo 4

Para encontrar a matriz inversa , usamos a fórmula para matrizes 2x2:
Onde . Substituindo os valores da nossa matriz:

Passo 5

Agora que temos a matriz inversa , podemos expressar a transformação inversa . Se representarmos como uma transformação linear, ela será dada por:
Multiplicando as matrizes, temos:

Resposta

A transformação inversa é .

Exercícios relacionados

Sabendo que o ângulo entre os vetores e é de , determinar o ângulo formado pelos vetores:
a) e
b) e
c) e
d) e
Sejam A=(1,3,-1), B=(0,1,-1) e C=(2,0,-1).
(b) Calcule o cosseno do ângulo formado pelos vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.
Sejam A=(2,1,-1), B=(1,0,1) e C=(1,3,1) vértices de um triângulo.
(a) Verifique se os pontos A, B e C são colineares?
Sejam A=(1,3,-1), B=(1,0,-1) e C=(2,0,-1).
(b) Calcule o seno do ângulo formado pelos vetores \overrightarrow{C B} e \overrightarrow{C A}.