Considere a transformação linear
, definida por
.
Determine
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão trata de transformações lineares, um tópico fundamental em álgebra linear. A gente tem uma transformação
definida por
. O que queremos é descobrir a transformação inversa
. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a matriz inversa de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que representa a transformação
. Em álgebra linear, toda transformação linear pode ser associada a uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, realiza a transformação. No nosso caso, a matriz
que representa
é:
Aqui, os coeficientes de
e
nas expressões de
formam as colunas da matriz.
Passo 3
Agora, para encontrar a transformação inversa
, precisamos calcular a matriz inversa
da matriz
. Uma matriz
é invertível se o seu determinante
for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de
:
Como
, a matriz
é invertível.
Passo 4
Para encontrar a matriz inversa
, usamos a fórmula para matrizes 2x2:
Onde
. Substituindo os valores da nossa matriz:
Passo 5
Agora que temos a matriz inversa
, podemos expressar a transformação inversa
. Se representarmos
como uma transformação linear, ela será dada por:
Multiplicando as matrizes, temos:
Resposta
A transformação inversa é
.