Sejam A=(1,3,-1), B=(1,0,-1) e C=(2,0,-1).
(b) Calcule o seno do ângulo formado pelos vetores \overrightarrow{C B} e \overrightarrow{C A}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! A gente tem três pontos no espaço: A=(1,3,-1), B=(1,0,-1) e C=(2,0,-1). O problema pede para calcular o seno do ângulo formado pelos vetores e . Vamos precisar usar conceitos de vetores e trigonometria, especialmente a fórmula para o seno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores CB = B - C = (1-2, 0-0, -1-(-1)) = (-1, 0, 0) e CA = A - C = (1-2, 3-0, -1-(-1)) = (-1, 3, 0) . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos correspondentes.

Passo 3

Agora que temos os vetores, vamos relembrar como calcular o seno do ângulo entre eles. A fórmula é:
sin theta = ||CB times CA||||CB|| cdot ||CA||
Aqui, representa o produto vetorial, e indica a magnitude (ou comprimento) do vetor.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial CB times CA = i & j & k -1 & 0 & 0 -1 & 3 & 0 .
= i(0 cdot 0 - 0 cdot 3) - j(-1 cdot 0 - 0 cdot -1) + k(-1 cdot 3 - 0 cdot -1)
= i(0) - j(0) + k(-3)
= (0, 0, -3)

Passo 5

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante.
||CB times CA|| = raiz0^2 + 0^2 + (-3)^2 = raiz9 = 3

Passo 6

Em seguida, calculamos as magnitudes dos vetores ||CB|| = raiz(-1)^2 + 0^2 + 0^2 = raiz1 = 1 e ||CA|| = raiz(-1)^2 + 3^2 + 0^2 = raiz1 + 9 = raiz10 .

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na fórmula do seno:
sin theta = 31 cdot raiz10 = 3raiz10 = 3raiz1010

Resposta

O seno do ângulo formado pelos vetores e é .

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