Sejam A=(2,1,-1), B=(1,0,1) e C=(1,3,1) vértices de um triângulo.
(a) Verifique se os pontos A, B e C são colineares?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço tridimensional: , e . Precisamos verificar se esses três pontos são colineares, ou seja, se eles estão alinhados em uma única reta.
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de vetores e verificar se os vetores que ligam esses pontos são múltiplos um do outro, o que indicaria colinearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os vetores que ligam os pontos AB = B - A = (1 - 2, 0 - 1, 1 - (-1)) = (-1, -1, 2) a AC = C - A = (1 - 2, 3 - 1, 1 - (-1)) = (-1, 2, 2) e a .
O vetor é dado por:
O vetor é dado por:

Passo 3

Agora, vamos verificar se o vetor AB = lambda cdot AC é múltiplo do vetor -1 = lambda cdot (-1) implies lambda = 1 . Se existir um número real -1 = lambda cdot 2 implies lambda = -12 tal que:
2 = lambda cdot 2 implies lambda = 1
então os vetores são colineares.
Vamos comparar as componentes correspondentes dos vetores:
  1. Para a componente :
  1. Para a componente :
  1. Para a componente :
Observamos que os valores de não são consistentes em todas as componentes ( e ). Isso significa que não existe um único escalar que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Passo 4

Como não conseguimos encontrar um único valor de que torne um múltiplo de , concluímos que os vetores não são colineares. Portanto, os pontos , e não estão alinhados em uma única reta.

Resposta

Os pontos , e não são colineares.

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