Sejam A=(2,1,-1), B=(1,0,1) e C=(1,3,1) vértices de um triângulo.
(a) Verifique se os pontos A, B e C são colineares?
(a) Verifique se os pontos A, B e C são colineares?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço tridimensional:
,
e
. Precisamos verificar se esses três pontos são colineares, ou seja, se eles estão alinhados em uma única reta.
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de vetores e verificar se os vetores que ligam esses pontos são múltiplos um do outro, o que indicaria colinearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os vetores que ligam os pontos
a
e
a
.
O vetor
é dado por:
O vetor
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos verificar se o vetor
é múltiplo do vetor
. Se existir um número real
tal que:
então os vetores são colineares.
Vamos comparar as componentes correspondentes dos vetores:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Observamos que os valores de
não são consistentes em todas as componentes (
e
). Isso significa que não existe um único escalar
que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Passo 4
Como não conseguimos encontrar um único valor de
que torne
um múltiplo de
, concluímos que os vetores não são colineares. Portanto, os pontos
,
e
não estão alinhados em uma única reta.
Resposta
Os pontos
,
e
não são colineares.
Exercícios relacionados
Considere a transformação linear
, definida por
.
Determine .
Determine
Sabendo que o ângulo entre os vetores
e
é de
, determinar o ângulo formado pelos vetores:
a) e
b) e
c) e
d) e
a)
b)
c)
d)
Sejam A=(1,3,-1), B=(1,0,-1) e C=(2,0,-1).
(b) Calcule o seno do ângulo formado pelos vetores \overrightarrow{C B} e \overrightarrow{C A}.
(b) Calcule o seno do ângulo formado pelos vetores \overrightarrow{C B} e \overrightarrow{C A}.
Nos itens abaixo, determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham. O conjunto de todas as ênuplas de números reais da forma ( $\mathrm{x}, \mathrm{x}, ···, \mathrm{x} ) com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar em
.