Sejam A=(2,1,-1), B=(1,0,1) e C=(1,3,1) vértices de um triângulo.
(a) Verifique se os pontos A, B e C são colineares?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço tridimensional: , e . Precisamos verificar se esses três pontos são colineares, ou seja, se eles estão alinhados em uma única reta.
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de vetores e verificar se os vetores que ligam esses pontos são múltiplos um do outro, o que indicaria colinearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os vetores que ligam os pontos a e a .
O vetor é dado por:
O vetor é dado por:

Passo 3

Agora, vamos verificar se o vetor é múltiplo do vetor . Se existir um número real tal que:
então os vetores são colineares.
Vamos comparar as componentes correspondentes dos vetores:
  1. Para a componente :
  1. Para a componente :
  1. Para a componente :
Observamos que os valores de não são consistentes em todas as componentes ( e ). Isso significa que não existe um único escalar que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Passo 4

Como não conseguimos encontrar um único valor de que torne um múltiplo de , concluímos que os vetores não são colineares. Portanto, os pontos , e não estão alinhados em uma única reta.

Resposta

Os pontos , e não são colineares.

Exercícios relacionados

Considere a transformação linear , definida por .
Determine .
Sabendo que o ângulo entre os vetores e é de , determinar o ângulo formado pelos vetores:
a) e
b) e
c) e
d) e
Sejam A=(1,3,-1), B=(1,0,-1) e C=(2,0,-1).
(b) Calcule o seno do ângulo formado pelos vetores \overrightarrow{C B} e \overrightarrow{C A}.
Nos itens abaixo, determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham. O conjunto de todas as ênuplas de números reais da forma ( $\mathrm{x}, \mathrm{x}, ···, \mathrm{x} ) com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar em .