Nos itens abaixo, determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham. O conjunto de todas as matrizes da forma com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se um conjunto específico, que são todas as matrizes da forma , formando um conjunto com as operações padrão de adição de matrizes e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e checar se nosso conjunto os satisfaz. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, quando somamos dois vetores do conjunto ou multiplicamos um vetor por um escalar (um número real, por exemplo), o resultado ainda está dentro do conjunto. Além disso, algumas regras chamadas axiomas precisam ser verdadeiras, como a existência de um vetor zero, a existência de inversos, e a associatividade e comutatividade da adição, entre outros.
Passo 3
Vamos começar verificando se nosso conjunto de matrizes é fechado sob adição. Isso quer dizer que se pegarmos duas matrizes desse tipo e somarmos, o resultado ainda deve ser uma matriz do mesmo tipo.
Vamos supor duas matrizes:
Somando A e B:
Viu só? A soma também é uma matriz da forma , ou seja, permanece no nosso conjunto. Então, a adição está fechada.
Passo 4
Agora, vamos ver se o conjunto está fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos uma matriz do nosso conjunto e multiplicarmos por um número real, o resultado ainda deve estar dentro do conjunto.
Vamos pegar uma matriz e um escalar . Multiplicando:
Novamente, o resultado é uma matriz da forma , ou seja, continua no nosso conjunto. Então, a multiplicação por escalar também está fechada.
Passo 5
Vamos agora checar se outros axiomas do espaço vetorial são satisfeitos. Por exemplo:
Existência do vetor zero: Precisamos que exista uma matriz zero no conjunto. Claro que sim, a matriz está no nosso conjunto.
Existência de inversos aditivos: Para cada matriz , existe uma matriz que também está no conjunto, satisfazendo .
Associatividade e comutatividade da adição: A adição de matrizes é associativa e comutativa no geral, e como nosso conjunto está fechado sob adição, esses axiomas também são satisfeitos.
Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e escalares: Essas propriedades são herdadas das operações matriciais padrão e também são satisfeitas.
Passo 6
Como verificamos, todas as condições e axiomas necessários para um espaço vetorial são atendidos pelo conjunto das matrizes da forma com as operações de adição e multiplicação por escalar padrão. Não houve nenhum axioma que falhou durante nossa verificação.
Resposta
Sim, o conjunto das matrizes da forma , com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial.