Sejam A=(0,2,1), B=(0,-1,1), C=(4,3,3) e D=(1,0,-1). Determine:
(b) [\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}]-\overrightarrow{A B} \cdot(\overrightarrow{A C} \times \overrightarrow{A D})

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no espaço: A=(0,2,1), B=(0,-1,1), C=(4,3,3) e D=(1,0,-1). A parte (b) da questão quer que a gente calcule a expressão .
Aqui, estamos lidando com vetores e operações entre eles, como o produto vetorial ( ) e o produto escalar ( ). Vamos precisar entender o que é o produto misto (também conhecido como produto escalar triplo) e como calcular essas operações passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB = B - A = (0-0, -1-2, 1-1) = (0, -3, 0) , AC = C - A = (4-0, 3-2, 3-1) = (4, 1, 2) e AD = D - A = (1-0, 0-2, -1-1) = (1, -2, -2) . Para isso, subtraímos as coordenadas do ponto de início do vetor das coordenadas do ponto final.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o produto misto [u, v, w] = u cdot (v times w) . O produto misto de três vetores é definido como:
Ou seja, é o produto escalar de um vetor com o produto vetorial dos outros dois. Isso também equivale ao determinante da matriz formada por esses vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial v times w = (vy wz - vz wy, vz wx - vx wz, vx wy - vy wx) . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores AC times AD = (1*(-2) - 2*(-2), 2*1 - 4*(-2), 4*(-2) - 1*1) e = (-2 + 4, 2 + 8, -8 - 1) é dado por:
= (2, 10, -9)
Aplicando isso aos vetores e :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz . O produto escalar de dois vetores AB cdot (AC times AD) = 0*2 + (-3)*10 + 0*(-9) = 0 - 30 + 0 = -30 e é dado por:
Aplicando isso aos vetores e :

Passo 6

Agora, vamos entender o que é [AB, AC, AD] = -30 . Como mencionamos anteriormente, isso é igual a . Portanto:

Resposta

[AB, AC, AD] - AB cdot (AC times AD) = -30 - (-30) = 0

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