Sejam A=(0,2,1), B=(0,-1,1), C=(4,3,3) e D=(1,0,-1). Determine:
(b) [\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}]-\overrightarrow{A B} \cdot(\overrightarrow{A C} \times \overrightarrow{A D})

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no espaço: A=(0,2,1), B=(0,-1,1), C=(4,3,3) e D=(1,0,-1). A parte (b) da questão quer que a gente calcule a expressão .
Aqui, estamos lidando com vetores e operações entre eles, como o produto vetorial ( ) e o produto escalar ( ). Vamos precisar entender o que é o produto misto (também conhecido como produto escalar triplo) e como calcular essas operações passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores , e . Para isso, subtraímos as coordenadas do ponto de início do vetor das coordenadas do ponto final.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o produto misto . O produto misto de três vetores é definido como:
Ou seja, é o produto escalar de um vetor com o produto vetorial dos outros dois. Isso também equivale ao determinante da matriz formada por esses vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos vetores e :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar . O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos vetores e :

Passo 6

Agora, vamos entender o que é . Como mencionamos anteriormente, isso é igual a . Portanto:

Resposta

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Considere as transformações lineares e dadas por e
Sejam (base do a base canônica do e (base do .
Determine .
Considere os conjuntos
e
(a) Descreva o conjunto S em quatro palavras.
Nos itens abaixo, determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham. O conjunto de todas as matrizes da forma com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.
Considere a transformação linear , definida por .
Mostre que é um isomorfismo.