Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no espaço: A=(0,2,1), B=(0,-1,1), C=(4,3,3) e D=(1,0,-1). A parte (b) da questão quer que a gente calcule a expressão .
Aqui, estamos lidando com vetores e operações entre eles, como o produto vetorial () e o produto escalar (). Vamos precisar entender o que é o produto misto (também conhecido como produto escalar triplo) e como calcular essas operações passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores , e . Para isso, subtraímos as coordenadas do ponto de início do vetor das coordenadas do ponto final.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o produto misto . O produto misto de três vetores é definido como:
Ou seja, é o produto escalar de um vetor com o produto vetorial dos outros dois. Isso também equivale ao determinante da matriz formada por esses vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos vetores e :
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar . O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos vetores e :
Passo 6
Agora, vamos entender o que é . Como mencionamos anteriormente, isso é igual a . Portanto: