Sejam A e B em \mathbb{R}^{3}.
Dado um ponto C, determine:
(b) O volume do paralelepípedo que tem como vértices A, B e C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para encontrar o volume do paralelepípedo formado pelos vértices A, B e C em . Para isso, vamos precisar usar o conceito de produto vetorial e determinante, que são ferramentas da geometria analítica e álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um paralelepípedo. É uma figura geométrica tridimensional com seis faces retangulares, onde cada face oposta é igual. O volume desse paralelepípedo pode ser calculado usando o produto misto de três vetores que definem o paralelepípedo.

Passo 3

Vamos identificar os vetores que definem nosso paralelepípedo. Supondo que temos os pontos A, B e C, podemos considerar os vetores , e , onde D é um quarto ponto que completa a figura. Porém, como só temos A, B e C, vamos usar o produto vetorial entre e e depois calcular o volume usando o determinante.

Passo 4

O volume do paralelepípedo pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
Como não temos o ponto D, vamos considerar que é determinado pela estrutura do problema ou dadas informações adicionais. Se não está definido, precisamos de mais informações para prosseguir.

Passo 5

Supondo que apenas com A, B e C temos que formar os vetores necessários, podemos interpretar que o volume é o determinante formado pelos vetores , e um terceiro vetor independente. Mas, para simplificar, se considerarmos que estamos calculando o volume usando apenas três pontos, podemos ajustar a fórmula para:
Onde pode ser considerado como o ponto que completa o paralelepípedo a partir de A, B e C.

Resposta

O volume do paralelepípedo formado pelos vértices A, B e C é dado pelo valor absoluto do determinante dos vetores , e :

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