Sejam A e B em \mathbb{R}^{3}.
Dado um ponto C, determine:
(b) O volume do paralelepípedo que tem como vértices A, B e C.
Dado um ponto C, determine:
(b) O volume do paralelepípedo que tem como vértices A, B e C.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para encontrar o volume do paralelepípedo formado pelos vértices A, B e C em
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de produto vetorial e determinante, que são ferramentas da geometria analítica e álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um paralelepípedo. É uma figura geométrica tridimensional com seis faces retangulares, onde cada face oposta é igual. O volume desse paralelepípedo pode ser calculado usando o produto misto de três vetores que definem o paralelepípedo.
Passo 3
Vamos identificar os vetores que definem nosso paralelepípedo. Supondo que temos os pontos A, B e C, podemos considerar os vetores
,
e
, onde D é um quarto ponto que completa a figura. Porém, como só temos A, B e C, vamos usar o produto vetorial entre
e
e depois calcular o volume usando o determinante.
Passo 4
O volume
do paralelepípedo pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
Como não temos o ponto D, vamos considerar que
é determinado pela estrutura do problema ou dadas informações adicionais. Se
não está definido, precisamos de mais informações para prosseguir.
Passo 5
Supondo que apenas com A, B e C temos que formar os vetores necessários, podemos interpretar que o volume é o determinante formado pelos vetores
,
e um terceiro vetor independente. Mas, para simplificar, se considerarmos que estamos calculando o volume usando apenas três pontos, podemos ajustar a fórmula para:
Onde
pode ser considerado como o ponto que completa o paralelepípedo a partir de A, B e C.
Resposta
O volume do paralelepípedo formado pelos vértices A, B e C é dado pelo valor absoluto do determinante dos vetores
,
e
:
Exercícios relacionados
Considere as transformações lineares
e
dadas por
e
Sejam
(base do
a base canônica do
e
(base do
.
Determine as dimensões do núcleo e da imagem de .
Determine as dimensões do núcleo e da imagem de
Sejam A=(1,0,2), B=(4,6,5) e C vértices de um triângulo de área igual a 2.
(b) Se o triângulo de vértices A, B e C é retângulo, então quantos possíveis pontos C existem satisfazendo todas as condições desta Questão (2)?
(b) Se o triângulo de vértices A, B e C é retângulo, então quantos possíveis pontos C existem satisfazendo todas as condições desta Questão (2)?
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(a) Sabendo que o vetor \vec{w} é perpendicular a \vec{u} e \vec{v} e, mais ainda, \vec{w}=(x, y, 3), determine x e y.
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Considere a transformação linear
, definida por
.
Determine .
Determine