Sejam \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(3,0,-1).
(a) Sabendo que o vetor \vec{w} é perpendicular a \vec{u} e \vec{v} e, mais ainda, \vec{w}=(x, y, 3), determine x e y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre três vetores: , e . A gente precisa encontrar os valores de e de forma que seja perpendicular tanto a quanto a . Pra resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar (ou dot product) que ajuda a verificar se dois vetores são perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, lembra que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de e é dado por:
Então, vamos aplicar isso para com e .

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar de com e igualar a zero:
Isso nos dá a primeira equação:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para e :
Essa é a segunda equação:

Passo 5

Com o valor de encontrado na equação (2), vamos substituir na equação (1) para achar :

Resposta

Os valores de e que satisfazem as condições do problema são:

Exercícios relacionados

Sejam A e B em \mathbb{R}^{3}.
Dado um ponto C, determine:
(b) O volume do paralelepípedo que tem como vértices A, B e C.
Considere as transformações lineares e dadas por e
Sejam (base do a base canônica do e (base do .
Determine as dimensões do núcleo e da imagem de .
Considere a transformação linear , definida por .
Determine .
Considere as transformações lineares e dadas por
Sejam (base do a base canônica do e (base do .
Determine .