Sejam \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(3,0,-1).
(a) Sabendo que o vetor \vec{w} é perpendicular a \vec{u} e \vec{v} e, mais ainda, \vec{w}=(x, y, 3), determine x e y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre três vetores: , e . A gente precisa encontrar os valores de e de forma que seja perpendicular tanto a quanto a . Pra resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar (ou dot product) que ajuda a verificar se dois vetores são perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, lembra que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 e é dado por:
Então, vamos aplicar isso para com e .

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar de w cdot u = x cdot 1 + y cdot 2 + 3 cdot (-1) = x + 2y - 3 = 0 com x + 2y = 3 (1) e igualar a zero:
Isso nos dá a primeira equação:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para w cdot v = x cdot 3 + y cdot 0 + 3 cdot (-1) = 3x - 3 = 0 e 3x = 3 Rightarrow x = 1 (2) :
Essa é a segunda equação:

Passo 5

Com o valor de 1 + 2y = 3 Rightarrow 2y = 2 Rightarrow y = 1 encontrado na equação (2), vamos substituir na equação (1) para achar :

Resposta

Os valores de x = 1 e y = 1 e que satisfazem as condições do problema são:

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