Sejam \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(3,0,-1).
(a) Sabendo que o vetor \vec{w} é perpendicular a \vec{u} e \vec{v} e, mais ainda, \vec{w}=(x, y, 3), determine x e y.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre três vetores: , e . A gente precisa encontrar os valores de e de forma que seja perpendicular tanto a quanto a . Pra resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar (ou dot product) que ajuda a verificar se dois vetores são perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, lembra que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de e é dado por:
Então, vamos aplicar isso para com e .
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar de com e igualar a zero:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para e :
Essa é a segunda equação:
Passo 5
Com o valor de encontrado na equação (2), vamos substituir na equação (1) para achar :
Resposta
Os valores de e que satisfazem as condições do problema são: