Sejam \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(3,0,-1).
(b) Determine a projeção de \vec{u} sobre \vec{v}.

Passo 1

Então, temos os vetores e . A questão pede para determinar a projeção de sobre . Para resolver isso, vamos usar o conceito de projeção de vetores que envolve o produto escalar e a magnitude do vetor sobre o qual estamos projetando.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar de u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 e u cdot v = (1)(3) + (2)(0) + (-1)(-1) = 3 + 0 + 1 = 4 . O produto escalar é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado da magnitude de |v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2 . A magnitude de |v|^2 = (3)^2 + (0)^2 + (-1)^2 = 9 + 0 + 1 = 10 é:
Então,

Passo 4

Com o produto escalar e o quadrado da magnitude de projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v , podemos encontrar a projeção de projv u = ( 410 ) v = 0,4 times (3, 0, -1) = (1, 0, -0,4) sobre usando a fórmula:
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

A projeção de sobre é .

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