Considere a transformação linear T: R^3 longrightarrow R^2, definida por T(x, y, z)=(x+2 y-3 z, 4 x-5 y+6 z) e as bases alpha=(1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1) do R^3 e beta=(1,0),(0,1) do R^2.
Calcule [T(v)]beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Além disso, temos duas bases:
  • Base de :
  • Base de :
O objetivo é calcular , ou seja, encontrar as coordenadas da imagem de um vetor na base .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa as coordenadas do vetor na base . Como é a base padrão de , as coordenadas serão simplesmente os próprios componentes de .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação T(v) = T(x, y, z) = (x + 2y - 3z, , 4x - 5y + 6z) a um vetor genérico da base . Segundo a definição de :

Passo 4

Agora, para encontrar [T(v)]beta = x + 2y - 3z 4x - 5y + 6z , basta expressar na base . Como é a base padrão, as coordenadas serão os próprios valores de . Ou seja:

Resposta

Portanto, as coordenadas de [T(v)]beta = x + 2y - 3z 4x - 5y + 6z na base são:

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