Sejam E=(e1, e2, e3) base e f1=e1+e2+e3, f2=e1-e2 e f3=e3, decida se F=(f1, f2, f3) é base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre bases de vetores em um espaço tridimensional. Temos uma base e outra coleção de vetores . A gente precisa descobrir se também forma uma base. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Em álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, como estamos trabalhando em três dimensões, precisamos de três vetores que cumpram esses critérios.

Passo 3

Os vetores f1 = e1 + e2 + e3 = 111, f2 = e1 - e2 = 1-10, f3 = e3 = 001 e estão expressos na base . Vamos escrever esses vetores em forma de coordenadas:

Passo 4

Agora, para verificar se A = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 1 & 0 & 1 é uma base, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
A teoria aqui é que se o determinante dessa matriz for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

Passo 5

Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (-1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) + 0 cdot (1 cdot 0 - (-1) cdot 1) = 1 cdot (-1) - 1 cdot 1 + 0 cdot (0 + 1) = -1 -1 + 0 = -2 :
Como o determinante é , que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Sim, é uma base.

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