Sabendo que é uma transformação linear definida por .
Determine uma base do .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre transformações lineares, que fazem parte da Álgebra Linear. Precisamos encontrar uma base para o núcleo da transformação , ou seja, todos os vetores em que, quando aplicados em , resultam no vetor zero em . Para isso, vamos resolver um sistema de equações lineares usando as coordenadas dadas de .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações que descrevem :
Passo 3
Nossa missão é resolver esse sistema para encontrar os valores de e que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Vamos resolver passo a passo.
Passo 4
Da primeira equação, temos , o que significa que .
Passo 5
Da segunda equação, , podemos isolar : .
Passo 6
Agora, substituímos 2x - y + z = 2y - y - y = 0 e na terceira equação:
Vemos que essa equação se confirma, n��o nos dando nova informação.
Passo 7
Substituímos x + z = y - y = 0 e na quarta equação:
Novamente, a equação se confirma sem adicionar novas restrições.
Passo 8
Então, as únicas relações que precisamos considerar são x = t, y = t, z = -t e . Podemos expressar como um parâmetro livre, digamos .
Assim:
Passo 9
Isso significa que todo vetor no núcleo de pode ser escrito como , onde é um número real qualquer.