Sabendo que T: R^3 longrightarrow R^4 é uma transformação linear definida por T(x, y, z)=(x-y, y+z, 2 x-y+z, x+z).
Determine uma base do ker(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre transformações lineares, que fazem parte da Álgebra Linear. Precisamos encontrar uma base para o núcleo da transformação , ou seja, todos os vetores em que, quando aplicados em , resultam no vetor zero em . Para isso, vamos resolver um sistema de equações lineares usando as coordenadas dadas de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que descrevem x - y = 0 y + z = 0 2x - y + z = 0 x + z = 0 :

Passo 3

Nossa missão é resolver esse sistema para encontrar os valores de e que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Vamos resolver passo a passo.

Passo 4

Da primeira equação, temos , o que significa que .

Passo 5

Da segunda equação, , podemos isolar : .

Passo 6

Agora, substituímos 2x - y + z = 2y - y - y = 0 e na terceira equação:
Vemos que essa equação se confirma, n��o nos dando nova informação.

Passo 7

Substituímos x + z = y - y = 0 e na quarta equação:
Novamente, a equação se confirma sem adicionar novas restrições.

Passo 8

Então, as únicas relações que precisamos considerar são x = t, y = t, z = -t e . Podemos expressar como um parâmetro livre, digamos .
Assim:

Passo 9

Isso significa que todo vetor no núcleo de pode ser escrito como , onde é um número real qualquer.

Resposta

Uma base do núcleo de é .

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