Determine a equação do plano que contém o ponto A=(2,3,-1) e é perpendicular ao vetor n=(1,4,2).
Em seguida determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A e perpendicular ao plano que você determinou.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular ao vetor . Depois disso, vamos determinar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo mesmo ponto e que é perpendicular a esse plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equação do plano e equação da reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação do plano. Sabemos que a equação de um plano pode ser escrita na forma:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde é um ponto no plano e é um vetor normal ao plano.

Passo 3

No nosso caso, o ponto 1(x - 2) + 4(y - 3) + 2(z + 1) = 0 está no plano, e o vetor é perpendicular ao plano. Então, substituindo esses valores na fórmula, temos:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação:
1(x - 2) + 4(y - 3) + 2(z + 1) = 0
x - 2 + 4y - 12 + 2z + 2 = 0
x + 4y + 2z - 12 = 0
Essa é a equação do plano que procuramos.

Passo 5

Agora, vamos determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e que é perpendicular ao plano. Sabemos que a direção dessa reta deve ser paralela ao vetor normal do plano, ou seja, ao vetor .
A forma das equações paramétricas de uma reta é:
onde é um ponto na reta e é o vetor diretor.

Passo 6

Substituindo os valores, temos:
x = 2 + 1t y = 3 + 4t z = -1 + 2t
Ou seja, as equações paramétricas da reta são:
x = 2 + t
y = 3 + 4t
z = -1 + 2t

Resposta

A equação do plano é x = 2 + t y = 3 + 4t z = -1 + 2t e as equações paramétricas da reta são:

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