Determine a equação do plano que contém o ponto e é perpendicular ao vetor .
Em seguida determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A e perpendicular ao plano que você determinou.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular ao vetor . Depois disso, vamos determinar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo mesmo ponto e que é perpendicular a esse plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equação do plano e equação da reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação do plano. Sabemos que a equação de um plano pode ser escrita na forma:
onde é um ponto no plano e é um vetor normal ao plano.
Passo 3
No nosso caso, o ponto está no plano, e o vetor é perpendicular ao plano. Então, substituindo esses valores na fórmula, temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação:
Essa é a equação do plano que procuramos.
Passo 5
Agora, vamos determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e que é perpendicular ao plano. Sabemos que a direção dessa reta deve ser paralela ao vetor normal do plano, ou seja, ao vetor .
A forma das equações paramétricas de uma reta é:
onde é um ponto na reta e é o vetor diretor.
Passo 6
Substituindo os valores, temos:
x = 2 + 1t y = 3 + 4t z = -1 + 2t
Ou seja, as equações paramétricas da reta são:
x = 2 + t
y = 3 + 4t
z = -1 + 2t
Resposta
A equação do plano é x = 2 + t y = 3 + 4t z = -1 + 2t e as equações paramétricas da reta são: