Considere a transformação linear
definida por
Verifique se
é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine
.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que você enviou. Temos uma transformação linear
definida por
O objetivo é verificar se
é um isomorfismo. Se for, precisamos encontrar a transformação inversa
para um polinômio genérico em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes de transformações lineares e propriedades de isomorfismo.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação
como uma matriz. Para isso, consideramos a base padrão de
, que são os vetores
,
e
.
Aplicando
em cada um desses vetores:
Agora, organizamos esses resultados como colunas em uma matriz:
Passo 3
Para verificar se
det(A) = 1 cdot 0 & 2 0 & -1 - 1 cdot -1 & 2 1 & -1 + 1 cdot -1 & 0 1 & 0 é um isomorfismo, precisamos confirmar se a matriz
0 & 2 0 & -1 = (0)(-1) - (2)(0) = 0 é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero.
Calculando o determinante de
-1 & 2 1 & -1 = (-1)(-1) - (2)(1) = 1 - 2 = -1 :
Calculando cada menor:
Substituindo de volta:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz
é invertível. Portanto,
é um isomorfismo.
Passo 4
Agora que sabemos que
Cof(A) = 0 & 2 0 & -1 & - -1 & 2 1 & -1 & -1 & 0 1 & 0 - 1 & 1 1 & -1 & 1 & 1 1 & -1 & - 1 & 1 -1 & 0 1 & 1 -1 & 0 & - 1 & 1 -1 & 0 & 1 & 1 -1 & 0 é um isomorfismo, vamos encontrar a transformação inversa
Cof(A) = 0 & 1 & 0 2 & 2 & 1 1 & -1 & -1 . Para isso, precisamos inverter a matriz
adj(A) = 0 & 2 & 1 1 & 2 & -1 0 & 1 & -1 .
A inversa de uma matriz
A^-1 = adj(A) = 0 & 2 & 1 1 & 2 & -1 0 & 1 & -1 é dada por
, onde
é a adjunta de
.
Como já calculamos que
, a inversa será simplesmente
.
Calculando a adjunta de
:
Primeiro, encontramos a matriz de cofatores:
Simplificando:
A adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
Portanto, a inversa de
é:
Passo 5
Agora, para encontrar
T(a, b, c) = p(t) = x + y t + z t^2 , consideramos um polinômio genérico
A a b c = x y z em
a b c .
Queremos encontrar o vetor
a b c = A^-1 x y z = 0 & 2 & 1 1 & 2 & -1 0 & 1 & -1 x y z tal que:
Isso pode ser representado como:
Para encontrar
c = 0 cdot x + 1 cdot y - 1 cdot z = y - z , multiplicamos ambos os lados por
:
Realizando a multiplicação:
Resposta
Assim, a transformação inversa
T^-1(x + y t + z t^2) = (2y + z, x + 2y - z, y - z) é dada por:
Exercícios relacionados
Se
u=v , então
u / / v .
Sejam
T: R^3 R^2 e
S: R^2 R^2 transformações lineares definidas por
Determine
(S circ T)(x, y, z) .
(6 pontos) Considere os pontos
A(1,-2,3), B(2,-1,-4), C(0,2,0) e
D(-1, m, 1) .
a) determinar o valor de m para que seja de 20 unidades de volume o volume do paralelepipedo determinado pelos vetoresA B, A C, A D .
b) Determine a equação geral do plano que passa porA, B e
C .
c) Determine a projeção do vetorA C sobre
u=(1,2,1) .
a) determinar o valor de m para que seja de 20 unidades de volume o volume do paralelepipedo determinado pelos vetores
b) Determine a equação geral do plano que passa por
c) Determine a projeção do vetor
381 | |
127 | 127 |
Sejam
T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
$$
T(x, y, z)=(2 x+3 y+6 z, 3 x+4 y+7 z, 2 x+3 y+5 z)
T(x, y, z)=(2 x+3 y+6 z, 3 x+4 y+7 z, 2 x+3 y+5 z) ç ã
S(x, y, z)=(x+y+z, y+2 z, x+y+2 z)$$
DetermineS: R^3 R^3 .
Determine