Considere a transformação linear T: R^3 P2 definida por
T(x, y, z)=(x+y+z)+(2 z-x) t+(x-z) t^2
Verifique se T é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine T^-1(x+y t+z t^2).

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você enviou. Temos uma transformação linear T(x, y, z) = (x+y+z) + (2z - x) t + (x - z) t^2 definida por
O objetivo é verificar se é um isomorfismo. Se for, precisamos encontrar a transformação inversa para um polinômio genérico em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes de transformações lineares e propriedades de isomorfismo.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação T(e1) = T(1,0,0) = (1 + 0 + 0) + (0 - 1) t + (1 - 0) t^2 = 1 - t + t^2 como uma matriz. Para isso, consideramos a base padrão de T(e2) = T(0,1,0) = (0 + 1 + 0) + (0 - 0) t + (0 - 0) t^2 = 1 , que são os vetores T(e3) = T(0,0,1) = (0 + 0 + 1) + (2 cdot 1 - 0) t + (0 - 1) t^2 = 1 + 2t - t^2 , A = 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 2 1 & 0 & -1 e .
Aplicando em cada um desses vetores:
Agora, organizamos esses resultados como colunas em uma matriz:

Passo 3

Para verificar se det(A) = 1 cdot 0 & 2 0 & -1 - 1 cdot -1 & 2 1 & -1 + 1 cdot -1 & 0 1 & 0 é um isomorfismo, precisamos confirmar se a matriz 0 & 2 0 & -1 = (0)(-1) - (2)(0) = 0 é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero.
Calculando o determinante de -1 & 2 1 & -1 = (-1)(-1) - (2)(1) = 1 - 2 = -1 :
-1 & 0 1 & 0 = (-1)(0) - (0)(1) = 0
Calculando cada menor:
det(A) = 1(0) - 1(-1) + 1(0) = 0 + 1 + 0 = 1
Substituindo de volta:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz é invertível. Portanto, é um isomorfismo.

Passo 4

Agora que sabemos que Cof(A) = 0 & 2 0 & -1 & - -1 & 2 1 & -1 & -1 & 0 1 & 0 - 1 & 1 1 & -1 & 1 & 1 1 & -1 & - 1 & 1 -1 & 0 1 & 1 -1 & 0 & - 1 & 1 -1 & 0 & 1 & 1 -1 & 0 é um isomorfismo, vamos encontrar a transformação inversa Cof(A) = 0 & 1 & 0 2 & 2 & 1 1 & -1 & -1 . Para isso, precisamos inverter a matriz adj(A) = 0 & 2 & 1 1 & 2 & -1 0 & 1 & -1 .
A inversa de uma matriz A^-1 = adj(A) = 0 & 2 & 1 1 & 2 & -1 0 & 1 & -1 é dada por , onde é a adjunta de .
Como já calculamos que , a inversa será simplesmente .
Calculando a adjunta de :
Primeiro, encontramos a matriz de cofatores:
Simplificando:
A adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
Portanto, a inversa de é:

Passo 5

Agora, para encontrar T(a, b, c) = p(t) = x + y t + z t^2 , consideramos um polinômio genérico A a b c = x y z em a b c .
Queremos encontrar o vetor a b c = A^-1 x y z = 0 & 2 & 1 1 & 2 & -1 0 & 1 & -1 x y z tal que:
a = 0 cdot x + 2 cdot y + 1 cdot z = 2y + z
Isso pode ser representado como:
b = 1 cdot x + 2 cdot y - 1 cdot z = x + 2y - z
Para encontrar c = 0 cdot x + 1 cdot y - 1 cdot z = y - z , multiplicamos ambos os lados por :
Realizando a multiplicação:

Resposta

Assim, a transformação inversa T^-1(x + y t + z t^2) = (2y + z, x + 2y - z, y - z) é dada por:

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