Verifique se é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine .
Passo 1
Vamos analisar o exercício que você enviou. Temos uma transformação linear definida por
O objetivo é verificar se é um isomorfismo. Se for, precisamos encontrar a transformação inversa para um polinômio genérico em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes de transformações lineares e propriedades de isomorfismo.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz. Para isso, consideramos a base padrão de , que são os vetores , e .
Aplicando em cada um desses vetores:
Agora, organizamos esses resultados como colunas em uma matriz:
Passo 3
Para verificar se det(A) = 1 cdot 0 & 2 0 & -1 - 1 cdot -1 & 2 1 & -1 + 1 cdot -1 & 0 1 & 0 é um isomorfismo, precisamos confirmar se a matriz 0 & 2 0 & -1 = (0)(-1) - (2)(0) = 0 é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero.