(6 pontos) Considere os pontos A(1,-2,3), B(2,-1,-4), C(0,2,0) e D(-1, m, 1).
a) determinar o valor de m para que seja de 20 unidades de volume o volume do paralelepipedo determinado pelos vetores A B, A C, A D.
b) Determine a equação geral do plano que passa por A, B e C.
c) Determine a projeção do vetor A C sobre u=(1,2,1).
c 30^circ 45^circ 60^circ sen 1 / 2 raiz2 / 2 raiz3 / 2 cos raiz3 / 2 raiz22 / 2 / 2
l cos theta=u cdot v|u||v| cos theta=|vr cdot vs||vr||vs| cos theta=|n1 cdot n2||n1||n2| sen phi=|n cdot vr||n||vr| V=|(u, v, w)| d(P, r)=|vr times Ar P||vr| d(r, s)=|(vr, vs cdot Ar As)|| vr times vs | d(P0, pi)=|a x0+b y0+c z0+d|raiza^2+b^2+c^2 proj vu=(v cdot u|u|^2) u
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127 127

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos quatro pontos no espaço: , , e . O exercício está dividido em três partes:
a) Encontrar o valor de para que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e seja 20 unidades.
b) Determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos , e .
c) Encontrar a projeção do vetor sobre o vetor .
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de vetores no espaço, cálculo de volume de paralelepípedo usando produto misto, equação de planos e projeção de vetores. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte a)
Primeiro, vamos encontrar os vetores V = |AB cdot (AC times AD)| , AC times AD = i & j & k -1 & 4 & -3 -2 & m+2 & -2 e i cdot (4 cdot (-2) - (-3) cdot (m+2)) - j cdot ((-1) cdot (-2) - (-3) cdot (-2)) + k cdot ((-1) cdot (m+2) - 4 cdot (-2)) .
  • i cdot (-8 + 3m + 6) - j cdot (2 - 6) + k cdot (-m - 2 + 8)
  • = i cdot (3m - 2) - j cdot (-4) + k cdot (-m + 6)
  • = (3m - 2)i + 4j + (-m + 6)k
O volume do paralelepípedo formado por esses vetores é dado pelo valor absoluto do produto misto:
AB cdot (AC times AD) = (1)(3m - 2) + (1)(4) + (-7)(-m + 6)
Vamos calcular o produto vetorial = 3m - 2 + 4 + 7m - 42 :
= 10m - 40
Calculando o determinante:
|10m - 40| = 20
Simplificando:
10m - 40 = 20 ou 10m - 40 = -20
10m = 60 implies m = 6
10m = 20 implies m = 2
Agora, o produto escalar :
Sabemos que o volume é 20:
Então, temos duas possibilidades:
Resolvendo as duas:

Passo 3

Parte b)
Queremos encontrar a equação do plano que passa pelos pontos a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 , ax + by + cz + d = 0 e n = AB times AC = i & j & k 1 & 1 & -7 -1 & 4 & -3 .
A equação geral de um plano é:
i(1 cdot (-3) - (-7) cdot 4) - j(1 cdot (-3) - (-7) cdot (-1)) + k(1 cdot 4 - 1 cdot (-1))
Ou, na forma:
= i(-3 + 28) - j(-3 - 7) + k(4 + 1)
Primeiro, vamos encontrar dois vetores no plano, por exemplo, = 25i + 10j + 5k e n = (5, 2, 1) :
  • 5(x - 1) + 2(y + 2) + 1(z - 3) = 0
  • 5x - 5 + 2y + 4 + z - 3 = 0
O vetor normal ao plano 5x + 2y + z - 4 = 0 é o produto vetorial desses dois vetores:
5x + 2y + z - 4 = 0
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal .
Podemos simplificar dividindo por 5:
Agora, usando o ponto na equação do plano:
Então, a equação geral do plano é:

Passo 4

Parte c)
Queremos encontrar a projeção do vetor proju v = ( v cdot u|u|^2 ) u sobre o vetor AC = (-1, 4, -3) .
A fórmula para a projeção de u = (1, 2, 1) sobre AC cdot u = (-1)(1) + (4)(2) + (-3)(1) = -1 + 8 - 3 = 4 é:
|u|^2 = 1^2 + 2^2 + 1^2 = 1 + 4 + 1 = 6
Primeiro, vamos calcular proju AC = ( 46 ) u = ( 23 ) (1, 2, 1) = ( 23, 43, 23 ) :
Agora, calculamos :
Então, a projeção é:

Resposta

a) Os valores de 5x + 2y + z - 4 = 0 que satisfazem a condição são ( 23, 43, 23 ) e .
b) A equação geral do plano que passa pelos pontos , e é:
c) A projeção do vetor sobre o vetor é:

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Considere a transformação linear T: R^3 P2 definida por
T(x, y, z)=(x+y+z)+(2 z-x) t+(x-z) t^2
Verifique se T é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine T^-1(x+y t+z t^2).
Se u=v, então u / / v.
Sejam T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
$$
T(x, y, z)=(2 x+3 y+6 z, 3 x+4 y+7 z, 2 x+3 y+5 z) T(x, y, z)=(2 x+3 y+6 z, 3 x+4 y+7 z, 2 x+3 y+5 z)çã
S(x, y, z)=(x+y+z, y+2 z, x+y+2 z)$$
Determine S: R^3 R^3.
(4 pontos) Determinar o ângulo entre os planos: wis theta
pi1: passa por A(3,5,1) e B(6,8,2) e é para<=lo u=(1,1,2) ; é
pi2:(x, y, z)=(3,0,0)+t(1,1,0)+h(0,1,4), com t, h in R
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