(6 pontos) Considere os pontos e .
a) determinar o valor de m para que seja de 20 unidades de volume o volume do paralelepipedo determinado pelos vetores .
b) Determine a equação geral do plano que passa por A, B e C.
c) Determine a projeção do vetor A C sobre u=(1,2,1).
c 30^circ 45^circ 60^circ sen 1 / 2 raiz2 / 2 raiz3 / 2 cos raiz3 / 2 raiz22 / 2 / 2
l cos theta=u cdot v|u||v| cos theta=|vr cdot vs||vr||vs| cos theta=|n1 cdot n2||n1||n2| sen phi=|n cdot vr||n||vr| V=|(u, v, w)| d(P, r)=|vr times Ar P||vr| d(r, s)=|(vr, vs cdot Ar As)|| vr times vs | d(P0, pi)=|a x0+b y0+c z0+d|raiza^2+b^2+c^2 proj vu=(v cdot u|u|^2) u
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos quatro pontos no espaço: , , e . O exercício está dividido em três partes:
a) Encontrar o valor de para que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e seja 20 unidades.
b) Determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos , e .
c) Encontrar a projeção do vetor sobre o vetor .
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de vetores no espaço, cálculo de volume de paralelepípedo usando produto misto, equação de planos e projeção de vetores. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte a)
Primeiro, vamos encontrar os vetores V = |AB cdot (AC times AD)| , AC times AD = i & j & k -1 & 4 & -3 -2 & m+2 & -2 e i cdot (4 cdot (-2) - (-3) cdot (m+2)) - j cdot ((-1) cdot (-2) - (-3) cdot (-2)) + k cdot ((-1) cdot (m+2) - 4 cdot (-2)) .
Queremos encontrar a equação do plano que passa pelos pontos a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 , ax + by + cz + d = 0 e n = AB times AC = i & j & k 1 & 1 & -7 -1 & 4 & -3 .