Sejam T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
$$
T(x, y, z)=(2 x+3 y+6 z, 3 x+4 y+7 z, 2 x+3 y+5 z) T(x, y, z)=(2 x+3 y+6 z, 3 x+4 y+7 z, 2 x+3 y+5 z)çã
S(x, y, z)=(x+y+z, y+2 z, x+y+2 z)$$
Determine S: R^3 R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformação composta , onde e são transformações lineares de para . Para isso, vamos precisar entender o que são transformações lineares, como encontrar a inversa de uma transformação linear e como compor duas transformações. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender as transformações T(x, y, z) = (2x + 3y + 6z, 3x + 4y + 7z, 2x + 3y + 5z) e S(x, y, z) = (x + y + z, y + 2z, x + y + 2z) que nos foram dadas:
Queremos achar , que significa primeiro aplicar e depois aplicar no resultado.

Passo 3

Para compor essas transformações, precisamos primeiro encontrar S = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 2 , a inversa de . Uma transformação linear inversa existe se a matriz associada a for invertível, ou seja, se o determinante dessa matriz for diferente de zero.
Vamos montar a matriz de :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz para verificar se det(S) = 1 cdot 1 & 2 1 & 2 - 1 cdot 0 & 2 1 & 2 + 1 cdot 0 & 1 1 & 1 é invertível:
1 & 2 1 & 2 = (1)(2) - (1)(2) = 0
Calculando os menores:
0 & 2 1 & 2 = (0)(2) - (1)(2) = -2
0 & 1 1 & 1 = (0)(1) - (1)(1) = -1
det(S) = 1 cdot 0 - 1 cdot (-2) + 1 cdot (-1) = 0 + 2 - 1 = 1 neq 0
Então,
Como o determinante é diferente de zero, é invertível.

Passo 5

Agora, vamos encontrar A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) . Para isso, usamos a fórmula da inversa de uma matriz Cof(S) = 1 & 2 1 & 2 & - 0 & 2 1 & 2 & 0 & 1 1 & 1 - 1 & 1 1 & 2 & 1 & 1 1 & 2 & - 1 & 1 1 & 1 1 & 1 1 & 2 & - 1 & 1 0 & 2 & 1 & 1 0 & 1 :
Cof(S) = 0 & 2 & -1 -1 & 1 & 0 1 & -2 & 1
Onde adj(S) = 0 & -1 & 1 2 & 1 & -2 -1 & 0 & 1 é a matriz adjunta de S^-1 = 11 cdot adj(S) = adj(S) = 0 & -1 & 1 2 & 1 & -2 -1 & 0 & 1 . Vamos calcular a matriz adjunta de :
Primeiro, encontramos a matriz dos cofatores de :
Calculando os menores e aplicando os sinais:
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
Então,

Passo 6

Agora que temos T = 2 & 3 & 6 3 & 4 & 7 2 & 3 & 5 , vamos compor S^-1 cdot T = 0 & -1 & 1 2 & 1 & -2 -1 & 0 & 1 cdot 2 & 3 & 6 3 & 4 & 7 2 & 3 & 5 . Isso significa multiplicar a matriz de 0 cdot 2 + (-1) cdot 3 + 1 cdot 2 = 0 - 3 + 2 = -1 pela matriz de 0 cdot 3 + (-1) cdot 4 + 1 cdot 3 = 0 - 4 + 3 = -1 . Vamos primeiro escrever a matriz de 0 cdot 6 + (-1) cdot 7 + 1 cdot 5 = 0 - 7 + 5 = -2 :
2 cdot 2 + 1 cdot 3 + (-2) cdot 2 = 4 + 3 - 4 = 3
Agora, multiplicamos 2 cdot 3 + 1 cdot 4 + (-2) cdot 3 = 6 + 4 - 6 = 4 por 2 cdot 6 + 1 cdot 7 + (-2) cdot 5 = 12 + 7 - 10 = 9 :
-1 cdot 2 + 0 cdot 3 + 1 cdot 2 = -2 + 0 + 2 = 0
Vamos calcular cada entrada da matriz resultante:
Primeira linha:
-1 cdot 3 + 0 cdot 4 + 1 cdot 3 = -3 + 0 + 3 = 0
-1 cdot 6 + 0 cdot 7 + 1 cdot 5 = -6 + 0 + 5 = -1
S^-1 cdot T = -1 & -1 & -2 3 & 4 & 9 0 & 0 & -1
Segunda linha:
Terceira linha:
Então, a matriz resultante é:

Resposta

A transformação (S^-1 circ T)(x, y, z) = (-x - y - 2z, 3x + 4y + 9z, -z) é dada por

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c 30^circ 45^circ 60^circ sen 1 / 2 raiz2 / 2 raiz3 / 2 cos raiz3 / 2 raiz22 / 2 / 2
l cos theta=u cdot v|u||v| cos theta=|vr cdot vs||vr||vs| cos theta=|n1 cdot n2||n1||n2| sen phi=|n cdot vr||n||vr| V=|(u, v, w)| d(P, r)=|vr times Ar P||vr| d(r, s)=|(vr, vs cdot Ar As)|| vr times vs | d(P0, pi)=|a x0+b y0+c z0+d|raiza^2+b^2+c^2 proj vu=(v cdot u|u|^2) u
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