Sejam
a transformação linear definida por
$$
T(x, y, z)=(2 x+3 y+6 z, 3 x+4 y+7 z, 2 x+3 y+5 z)
S(x, y, z)=(x+y+z, y+2 z, x+y+2 z)$$
Determine
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformação composta
, onde
e
são transformações lineares de
para
. Para isso, vamos precisar entender o que são transformações lineares, como encontrar a inversa de uma transformação linear e como compor duas transformações. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender as transformações
e
que nos foram dadas:
Queremos achar
, que significa primeiro aplicar
e depois aplicar
no resultado.
Passo 3
Para compor essas transformações, precisamos primeiro encontrar
, a inversa de
. Uma transformação linear inversa existe se a matriz associada a
for invertível, ou seja, se o determinante dessa matriz for diferente de zero.
Vamos montar a matriz de
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz para verificar se
det(S) = 1 cdot 1 & 2 1 & 2 - 1 cdot 0 & 2 1 & 2 + 1 cdot 0 & 1 1 & 1 é invertível:
Calculando os menores:
Então,
Como o determinante é diferente de zero,
é invertível.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) . Para isso, usamos a fórmula da inversa de uma matriz
Cof(S) = 1 & 2 1 & 2 & - 0 & 2 1 & 2 & 0 & 1 1 & 1 - 1 & 1 1 & 2 & 1 & 1 1 & 2 & - 1 & 1 1 & 1 1 & 1 1 & 2 & - 1 & 1 0 & 2 & 1 & 1 0 & 1 :
Onde
adj(S) = 0 & -1 & 1 2 & 1 & -2 -1 & 0 & 1 é a matriz adjunta de
S^-1 = 11 cdot adj(S) = adj(S) = 0 & -1 & 1 2 & 1 & -2 -1 & 0 & 1 . Vamos calcular a matriz adjunta de
:
Primeiro, encontramos a matriz dos cofatores de
:
Calculando os menores e aplicando os sinais:
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
Então,
Passo 6
Agora que temos
T = 2 & 3 & 6 3 & 4 & 7 2 & 3 & 5 , vamos compor
S^-1 cdot T = 0 & -1 & 1 2 & 1 & -2 -1 & 0 & 1 cdot 2 & 3 & 6 3 & 4 & 7 2 & 3 & 5 . Isso significa multiplicar a matriz de
0 cdot 2 + (-1) cdot 3 + 1 cdot 2 = 0 - 3 + 2 = -1 pela matriz de
0 cdot 3 + (-1) cdot 4 + 1 cdot 3 = 0 - 4 + 3 = -1 . Vamos primeiro escrever a matriz de
0 cdot 6 + (-1) cdot 7 + 1 cdot 5 = 0 - 7 + 5 = -2 :
Agora, multiplicamos
2 cdot 3 + 1 cdot 4 + (-2) cdot 3 = 6 + 4 - 6 = 4 por
2 cdot 6 + 1 cdot 7 + (-2) cdot 5 = 12 + 7 - 10 = 9 :
Vamos calcular cada entrada da matriz resultante:
Primeira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:
Então, a matriz resultante é:
Resposta
A transformação
(S^-1 circ T)(x, y, z) = (-x - y - 2z, 3x + 4y + 9z, -z) é dada por
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A(1,-2,3), B(2,-1,-4), C(0,2,0) e
D(-1, m, 1) .
a) determinar o valor de m para que seja de 20 unidades de volume o volume do paralelepipedo determinado pelos vetoresA B, A C, A D .
b) Determine a equação geral do plano que passa porA, B e
C .
c) Determine a projeção do vetorA C sobre
u=(1,2,1) .
a) determinar o valor de m para que seja de 20 unidades de volume o volume do paralelepipedo determinado pelos vetores
b) Determine a equação geral do plano que passa por
c) Determine a projeção do vetor
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Considere a transformação linear
T: R^3 P2 definida por
Verifique se
T é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine
T^-1(x+y t+z t^2) .
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