Considere a transformação linear seguinte
Encontre sua matriz representante em relação às bases canônicas, e determine seu núcleo e sua imagem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . O que precisamos fazer é:
  1. Encontrar a matriz que representa essa transformação em relação às bases canônicas.
  2. Determinar o núcleo de , que é o conjunto de vetores em que são mapeados para o vetor zero em .
  3. Determinar a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos a partir dessa transformação.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como construir a matriz de uma transformação linear usando as bases canônicas e também como encontrar o núcleo e a imagem de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz representativa de em relação às bases canônicas. As bases canônicas para são os vetores , e . Para cada um desses vetores, aplicamos a transformação e colocamos o resultado como colunas na matriz.
Vamos calcular:
Agora, colocamos esses vetores como colunas na matriz :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem . Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:
Vamos simplificar esse sistema:
  1. Da segunda equação:
  2. Da quarta equação: (o que confirma que )
  3. Da primeira equação: =>
  4. Da terceira equação: . Substituindo e , temos: => =>
Então, , , e . Portanto, o núcleo de é apenas o vetor zero:
ú

Passo 4

Agora vamos determinar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser escritos como combinações lineares das colunas da matriz . Ou seja, queremos encontrar todas as combinações:
Para entender melhor, podemos analisar o posto da matriz . Observando as colunas, vemos que nenhuma coluna é múltiplo das outras, e elas são linearmente independentes. Então, o posto de é 3, o que significa que a imagem de é um subespaço de de dimensão 3.
Portanto, a imagem de é:
ç

Resposta

A matriz representante de em relação às bases canônicas é
O núcleo de é apenas o vetor zero:
ú
E a imagem de é o espaço gerado pelos vetores
ou seja,
ç

Exercícios relacionados

Considere o vetor descrito em coordenadas cartesianas seguinte:
Encontre o vetor de coordenadas de nas bases
Determine o subespaço , as projeções e e as reflexões e . Desenhe todos os objetos quando for o plano.
c) Se e .
Sendo dada a recta . Determinar: a) a área do triângulo formado pelos eixos coordenados e pela recta dada.
Determinar o ângulo formado pelas rectas: e