Considere a transformação linear T: R^3 R^4 seguinte
T(x, y, z)=(x+y, x-z, y-2 z, z-x)
Encontre sua matriz representante em relação às bases canônicas, e determine seu núcleo e sua imagem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . O que precisamos fazer é:
  1. Encontrar a matriz que representa essa transformação em relação às bases canônicas.
  2. Determinar o núcleo de , que é o conjunto de vetores em que são mapeados para o vetor zero em .
  3. Determinar a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos a partir dessa transformação.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como construir a matriz de uma transformação linear usando as bases canônicas e também como encontrar o núcleo e a imagem de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz representativa de A = 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 0 & 1 & -2 -1 & 0 & 1 em relação às bases canônicas. As bases canônicas para são os vetores , e . Para cada um desses vetores, aplicamos a transformação e colocamos o resultado como colunas na matriz.
Vamos calcular:
Agora, colocamos esses vetores como colunas na matriz :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o núcleo de x + y = 0 x - z = 0 y - 2z = 0 z - x = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores Núc<=o(T) = 0 em que satisfazem . Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:
Vamos simplificar esse sistema:
  1. Da segunda equação:
  2. Da quarta equação: (o que confirma que )
  3. Da primeira equação: =>
  4. Da terceira equação: . Substituindo e , temos: => =>
Então, , , e . Portanto, o núcleo de é apenas o vetor zero:
ú

Passo 4

Agora vamos determinar a imagem de c1 1 1 0 -1 + c2 1 0 1 0 + c3 0 -1 -2 1 . A imagem é o conjunto de todos os vetores em Ima>=m(T) = Espaço Gerado 1 1 0 -1 , 1 0 1 0 , 0 -1 -2 1 que podem ser escritos como combinações lineares das colunas da matriz . Ou seja, queremos encontrar todas as combinações:
Para entender melhor, podemos analisar o posto da matriz . Observando as colunas, vemos que nenhuma coluna é múltiplo das outras, e elas são linearmente independentes. Então, o posto de é 3, o que significa que a imagem de é um subespaço de de dimensão 3.
Portanto, a imagem de é:
ç

Resposta

A matriz representante de A = 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 0 & 1 & -2 -1 & 0 & 1 em relação às bases canônicas é
Núc<=o(T) = 0
O núcleo de 1 1 0 -1 , 1 0 1 0 , 0 -1 -2 1 é apenas o vetor zero:
Ima>=m(T) = Espaço Gerado 1 1 0 -1 , 1 0 1 0 , 0 -1 -2 1 ú
E a imagem de é o espaço gerado pelos vetores
ou seja,
ç

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