Encontre sua matriz representante em relação às bases canônicas, e determine seu núcleo e sua imagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . O que precisamos fazer é:
Encontrar a matriz que representa essa transformação em relação às bases canônicas.
Determinar o núcleo de , que é o conjunto de vetores em que são mapeados para o vetor zero em .
Determinar a imagem de , que é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos a partir dessa transformação.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como construir a matriz de uma transformação linear usando as bases canônicas e também como encontrar o núcleo e a imagem de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz representativa de em relação às bases canônicas. As bases canônicas para são os vetores , e . Para cada um desses vetores, aplicamos a transformação e colocamos o resultado como colunas na matriz.
Vamos calcular:
Agora, colocamos esses vetores como colunas na matriz :
Passo 3
Agora, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem . Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:
Vamos simplificar esse sistema:
Da segunda equação:
Da quarta equação: (o que confirma que )
Da primeira equação: =>
Da terceira equação: . Substituindo e , temos: => =>
Então, , , e . Portanto, o núcleo de é apenas o vetor zero:
ú
Passo 4
Agora vamos determinar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que podem ser escritos como combinações lineares das colunas da matriz . Ou seja, queremos encontrar todas as combinações:
Para entender melhor, podemos analisar o posto da matriz . Observando as colunas, vemos que nenhuma coluna é múltiplo das outras, e elas são linearmente independentes. Então, o posto de é 3, o que significa que a imagem de é um subespaço de de dimensão 3.
Portanto, a imagem de é:
ç
Resposta
A matriz representante de em relação às bases canônicas é