Determinar o ângulo formado pelas rectas: r1=4 x-9 y=-11 e r2=3 x+2 y-7=0

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar o ângulo formado pelas retas e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como calcular o ângulo entre duas retas a partir das suas equações. Para isso, vamos precisar achar as inclinações (ou coeficientes angulares) das retas e depois aplicar uma fórmula para encontrar o ângulo entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as inclinações das duas retas. As equações estão na forma geral 4x - 9y = -11 implies -9y = -4x - 11 implies y = 49x + 119 , mas é mais fácil trabalhar com a forma inclinada 3x + 2y = 7 implies 2y = -3x + 7 implies y = -32x + 72 , onde é o coeficiente angular.
Para a reta :
Então, o coeficiente angular da reta é .
Para a reta :
Assim, o coeficiente angular da reta é .

Passo 3

Agora que temos os coeficientes angulares das duas retas, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo tan theta = | m2 - m11 + m1 m2 | entre elas. A fórmula é:
Onde e são os coeficientes angulares das retas.

Passo 4

Vamos substituir os valores de tan theta = | -32 - 491 + (49) (-32) | e -32 - 49 = -2718 - 818 = -3518 na fórmula:
1 + (49) (-32) = 1 - 1218 = 1 - 23 = 13
Primeiro, vamos calcular o numerador:
tan theta = | -351813 | = | -3518 times 3 | = | -356 | = 356
Agora, o denominador:
Então:

Passo 5

Agora, para encontrar o ângulo theta = arctan( 356 ) , precisamos calcular o arco tangente de theta approx 80,5^circ :
Usando uma calculadora ou uma tabela trigonométrica, encontramos:

Resposta

O ângulo formado pelas retas e é aproximadamente .

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