Determine o subespaço w^perp, as projeções Pw v e Pw^perp v e as reflexões Rw v e Rw^perp v. Desenhe todos os objetos quando V for o plano.
c) Se w=(1,0,0) e v=(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um vetor e outro vetor geral . A matéria que vamos utilizar aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de subespaços ortogonais, projeções de vetores e reflexões em relação a subespaços. Vamos precisar entender como encontrar o subespaço ortogonal a , calcular as projeções de sobre e sobre esse subespaço ortogonal, e também determinar as reflexões de em relação a esses subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o subespaço , que é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a . Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou escalar) entre eles for zero.

Passo 3

O vetor w cdot u = 1 cdot u1 + 0 cdot u2 + 0 cdot u3 = u1 = 0 . Para um vetor estar em , deve satisfazer a condição:
Então, .

Passo 4

Portanto, o subespaço w^perp = , (0, u2, u3) mid u2, u3 in R , é formado por todos os vetores cujo primeiro componente é zero. Ou seja:
Isso representa um plano no espaço tridimensional onde o eixo é zero.

Passo 5

Agora, vamos calcular a projeção de Pw v = ( v cdot ww cdot w ) w sobre , denotada por . A fórmula para a projeção de sobre é:
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculamos o produto interno v cdot w = x cdot 1 + y cdot 0 + z cdot 0 = x :
w cdot w = 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1
E o produto interno Pw v = ( x1 ) (1, 0, 0) = (x, 0, 0) :
Então, a projeção fica:

Passo 7

Em seguida, vamos determinar a projeção de Pw^perp v = v - Pw v sobre , denotada por . Sabemos que:
Vamos subtrair as componentes correspondentes.

Passo 8

Subtraindo, temos:
Pw^perp v = (x, y, z) - (x, 0, 0) = (0, y, z)
Então, a projeção de Pw^perp v = (0, y, z) sobre é:

Passo 9

Agora, vamos calcular as reflexões de Rw v = 2 Pw v - v em relação a Rw^perp v = 2 Pw^perp v - v e . A reflexão de sobre é dada por:
E a reflexão sobre é:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 10

Primeiro, a reflexão em relação a Rw v = 2 (x, 0, 0) - (x, y, z) = (2x - x, 0 - y, 0 - z) = (x, -y, -z) :

Passo 11

Em seguida, a reflexão em relação a Rw^perp v = 2 (0, y, z) - (x, y, z) = (0 - x, 2y - y, 2z - z) = (-x, y, z) :

Resposta

O subespaço Pw v = (x, 0, 0) é Pw^perp v = (0, y, z) . As projeções de Rw v = (x, -y, -z) são:
Rw^perp v = (-x, y, z)
As reflexões de são:
Quando for o plano, todas essas projeções e reflexões podem ser visualizadas no plano tridimensional, onde está ao longo do eixo e é o plano .

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