Determine o subespaço , as projeções e e as reflexões e . Desenhe todos os objetos quando for o plano.
c) Se e .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um vetor e outro vetor geral . A matéria que vamos utilizar aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de subespaços ortogonais, projeções de vetores e reflexões em relação a subespaços. Vamos precisar entender como encontrar o subespaço ortogonal a , calcular as projeções de sobre e sobre esse subespaço ortogonal, e também determinar as reflexões de em relação a esses subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o subespaço , que é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a . Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou escalar) entre eles for zero.

Passo 3

O vetor . Para um vetor estar em , deve satisfazer a condição:
Então, .

Passo 4

Portanto, o subespaço é formado por todos os vetores cujo primeiro componente é zero. Ou seja:
Isso representa um plano no espaço tridimensional onde o eixo é zero.

Passo 5

Agora, vamos calcular a projeção de sobre , denotada por . A fórmula para a projeção de sobre é:
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculamos o produto interno :
E o produto interno :
Então, a projeção fica:

Passo 7

Em seguida, vamos determinar a projeção de sobre , denotada por . Sabemos que:
Vamos subtrair as componentes correspondentes.

Passo 8

Subtraindo, temos:
Então, a projeção de sobre é:

Passo 9

Agora, vamos calcular as reflexões de em relação a e . A reflexão de sobre é dada por:
E a reflexão sobre é:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 10

Primeiro, a reflexão em relação a :

Passo 11

Em seguida, a reflexão em relação a :

Resposta

O subespaço é . As projeções de são:
As reflexões de são:
Quando for o plano, todas essas projeções e reflexões podem ser visualizadas no plano tridimensional, onde está ao longo do eixo e é o plano .

Exercícios relacionados

Verifique que o operador de é linear e decida se ele é reflexão, projeção ou nilpotente. Determine quais das projeções e reflexões são ortogonais e quais estão relacionadas à mesma decomposição em soma direta. Desenhe todos os objetos quando for o plano.
e) Se .
Justifique porque se e são matrizes quadradas simétricas de mesma ordem, então também é.
Considere o vetor descrito em coordenadas cartesianas seguinte:
Encontre o vetor de coordenadas de nas bases
Considere a transformação linear seguinte
Encontre sua matriz representante em relação às bases canônicas, e determine seu núcleo e sua imagem.