Determine o subespaço
, as projeções
e
e as reflexões
e
. Desenhe todos os objetos quando
for o plano.
c) Se
e
.
c) Se
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um vetor
e outro vetor geral
. A matéria que vamos utilizar aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de subespaços ortogonais, projeções de vetores e reflexões em relação a subespaços. Vamos precisar entender como encontrar o subespaço ortogonal a
, calcular as projeções de
sobre
e sobre esse subespaço ortogonal, e também determinar as reflexões de
em relação a esses subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o subespaço
, que é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a
. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou escalar) entre eles for zero.
Passo 3
O vetor
. Para um vetor
estar em
, deve satisfazer a condição:
Então,
.
Passo 4
Portanto, o subespaço
é formado por todos os vetores cujo primeiro componente é zero. Ou seja:
Isso representa um plano no espaço tridimensional onde o eixo
é zero.
Passo 5
Agora, vamos calcular a projeção de
sobre
, denotada por
. A fórmula para a projeção de
sobre
é:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 6
Primeiro, calculamos o produto interno
:
E o produto interno
:
Então, a projeção fica:
Passo 7
Em seguida, vamos determinar a projeção de
sobre
, denotada por
. Sabemos que:
Vamos subtrair as componentes correspondentes.
Passo 8
Subtraindo, temos:
Então, a projeção de
sobre
é:
Passo 9
Agora, vamos calcular as reflexões de
em relação a
e
. A reflexão de
sobre
é dada por:
E a reflexão sobre
é:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 10
Primeiro, a reflexão em relação a
:
Passo 11
Em seguida, a reflexão em relação a
:
Resposta
O subespaço
é
. As projeções de
são:
As reflexões de
são:
Quando
for o plano, todas essas projeções e reflexões podem ser visualizadas no plano tridimensional, onde
está ao longo do eixo
e
é o plano
.
Exercícios relacionados
Verifique que o operador
de
é linear e decida se ele é reflexão, projeção ou nilpotente. Determine quais das projeções e reflexões são ortogonais e quais estão relacionadas à mesma decomposição em soma direta. Desenhe todos os objetos quando
for o plano.
e) Se .
e) Se
Justifique porque se
e
são matrizes quadradas simétricas de mesma ordem, então
também é.
Considere o vetor
descrito em coordenadas cartesianas seguinte:
Encontre o vetor de coordenadas de
nas bases
Considere a transformação linear
seguinte
Encontre sua matriz representante em relação às bases canônicas, e determine seu núcleo e sua imagem.