Considere o vetor
descrito em coordenadas cartesianas seguinte:
Encontre o vetor de coordenadas de
nas bases
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um vetor
no espaço bidimensional, ou seja,
. O exercício pede para encontrar as coordenadas desse vetor em quatro bases diferentes:
,
,
e
. Para resolver isso, precisamos entender como mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Vamos precisar saber quais são os vetores que definem cada uma dessas bases para proceder.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em
, uma base é um conjunto de dois vetores linearmente independentes. Qualquer vetor nesse espaço pode ser representado como uma combinação linear desses dois vetores. Ou seja, se temos uma base
, então qualquer vetor
pode ser escrito como:
Onde
e
são os coeficientes (ou coordenadas) que queremos encontrar na base
.
Passo 3
Então, para encontrar as coordenadas de
em uma base específica, precisamos seguir estes passos:
- Escrever o vetor
como uma combinação linear dos vetores que definem a base. - Montar um sistema de equações com os coeficientes dessa combinação.
- Resolver esse sistema para encontrar os valores de
e .
Vamos aplicar isso para cada uma das bases
,
,
e
.
Passo 4
Base
:
Vamos supor que a base
é a base padrão de
, ou seja,
. Nesse caso, o vetor
já está expresso nessa base, então suas coordenadas são simplesmente os próprios componentes do vetor:
Passo 5
Base
:
Para encontrar as coordenadas de
na base
, precisamos saber quais são os vetores que definem essa base. Suponhamos que:
Então, queremos encontrar
e
tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de
e
, que são as coordenadas de
na base
.
Passo 6
Base
:
A mesma lógica se aplica para a base
. Supondo que:
Queremos encontrar
e
tais que:
Novamente, isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para obter as coordenadas de
na base
.
Passo 7
Base
:
Finalmente, para a base
, suponhamos que:
Buscamos
e
tais que:
Resolvendo o sistema:
Encontramos os coeficientes
e
, que serão as coordenadas de
na base
.
Resposta
Para cada base
,
,
e
, as coordenadas do vetor
são os coeficientes
e
obtidos ao resolver os respectivos sistemas de equações conforme descrito em cada passo.
Exercícios relacionados
Determine o subespaço
, as projeções
e
e as reflexões
e
. Desenhe todos os objetos quando
for o plano.
c) Se e
.
c) Se
Verifique que o operador
de
é linear e decida se ele é reflexão, projeção ou nilpotente. Determine quais das projeções e reflexões são ortogonais e quais estão relacionadas à mesma decomposição em soma direta. Desenhe todos os objetos quando
for o plano.
e) Se .
e) Se
Considere a transformação linear
seguinte
Encontre sua matriz representante em relação às bases canônicas, e determine seu núcleo e sua imagem.
Sendo dada a recta
. Determinar: a) a área do triângulo formado pelos eixos coordenados e pela recta dada.