Considere o vetor v in R^2 descrito em coordenadas cartesianas seguinte:
v=binom-11
Encontre o vetor de coordenadas de v nas bases B, B1, B2, B3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um vetor v = -1 1 no espaço bidimensional, ou seja, R^2. O exercício pede para encontrar as coordenadas desse vetor em quatro bases diferentes: B, B1, B2 e B3. Para resolver isso, precisamos entender como mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Vamos precisar saber quais são os vetores que definem cada uma dessas bases para proceder.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em R^2, uma base é um conjunto de dois vetores linearmente independentes. Qualquer vetor nesse espaço pode ser representado como uma combinação linear desses dois vetores. Ou seja, se temos uma base B = b1, b2, então qualquer vetor v pode ser escrito como:
v = c1 b1 + c2 b2
Onde c1 e c2 são os coeficientes (ou coordenadas) que queremos encontrar na base B.

Passo 3

Então, para encontrar as coordenadas de v em uma base específica, precisamos seguir estes passos:
  1. Escrever o vetor v como uma combinação linear dos vetores que definem a base.
  2. Montar um sistema de equações com os coeficientes dessa combinação.
  3. Resolver esse sistema para encontrar os valores de c1 e c2.
Vamos aplicar isso para cada uma das bases B, B1, B2 e B3.

Passo 4

Base B:
Vamos supor que a base B é a base padrão de R^2, ou seja, B = 1 0 , 0 1 . Nesse caso, o vetor v já está expresso nessa base, então suas coordenadas são simplesmente os próprios componentes do vetor:
vB = -1 1

Passo 5

Base B1:
Para encontrar as coordenadas de v na base B1, precisamos saber quais são os vetores que definem essa base. Suponhamos que:
B1 = b1 = a b , b2 = c d
Então, queremos encontrar c1 e c2 tais que:
-1 1 = c1 a b + c2 c d
Isso resulta no sistema de equações:
-1 = c1 a + c2 c
1 = c1 b + c2 d
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de c1 e c2, que são as coordenadas de v na base B1.

Passo 6

Base B2:
A mesma lógica se aplica para a base B2. Supondo que:
B2 = b1 = e f , b2 = g h
Queremos encontrar c1 e c2 tais que:
-1 1 = c1 e f + c2 g h
Novamente, isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para obter as coordenadas de v na base B2.

Passo 7

Base B3:
Finalmente, para a base B3, suponhamos que:
B3 = b1 = i j , b2 = k l
Buscamos c1 e c2 tais que:
-1 1 = c1 i j + c2 k l
Resolvendo o sistema:
-1 = c1 i + c2 k
1 = c1 j + c2 l
Encontramos os coeficientes c1 e c2, que serão as coordenadas de v na base B3.

Resposta

Para cada base B, B1, B2 e B3, as coordenadas do vetor v = -1 1 são os coeficientes c1 e c2 obtidos ao resolver os respectivos sistemas de equações conforme descrito em cada passo.

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